Dopo una serata di inutili tentativi stamattina l'illuminazione!
Provo a spiegarlo...
Ho fatto un ragionamento a ritroso partendo dall'ultimo numero, il 4009°: infatti, dopo 2004 passaggi, avrò scritto $ 2005+2004=4009 $ numeri e ne avrò cancellati $ 2004*2=4008 $. Il numero rimasto è uguale alla somma dei numeri da 1 a 2005, perchè dopo ogni passaggio la somma rimane costante.
$ n_{4009} = S_{2005} $
$ n_{4008} + n_{4007} = S_{2005} $
$ (n_{4006} + n_{4005}) + (n_{4004} + n_{4003}) = S_{2005} $
Quindi, a partire dall'ultimo numero scritto, si possono suddividere gli altri in gruppi di $ $2^{k-1} $ elementi la cui somma è $ S_{2005} $.
Il numero degli elementi dei primi $ $k $ gruppi è $ $2^0 + 2^1 + ... + 2^{k-2}+ 2^{k-1} = 2^k-1 $.
Poichè i numeri scritti sono 4009, $ $2^{k}-1 \leq 4009 $, cioè il gruppo più "numeroso" è l'undicesimo, formato da $ 2^{11-1}= 1024 $ elementi.
Dopo ogni passaggio, togliendo i primi due numeri e scrivendo la loro somma, ci sarà un numero in meno (senza contare quelli cancellati), quindi, affinchè ci sia un gruppo di 1024 numeri, bisogna fare $ 2005-1024=981 $ passaggi, cancellando i primi $ 981*2=1962 $ numeri.
Quindi la somma di tutti i numeri è data dalla somma dei numeri da 1 a 1962 e degli undici gruppi:
$ $S=S_{1962}+11*S_{2005}=\frac {1962*1963}{2}+11* \frac {2005*2006}{2}=1925703+22121165=24046868 $
E' più facile da fare che da spiegare...è giusto?
