gara a squadre, Cesenatico 2000

[amatrix92]

Sia P il prodotto delle soluzioni reali dell'equazione $ \sqrt{399} \cdot {x ^\log_{3997}{x}}= x^7 $ Calcolare le ultime quattro cifre della parte intera di P.

io con metodi "olimpici"non sapevo prorpio che pesci prendere; applicando le ridotte conoscenze che ho di analisi delle funzioni sono arrivato a dire che una soluzione è sicuramente compresa tra 1 e 2, che il limite di entrambe le curve per x che tende a infinito è infinito, e che non dovrebbero esserci altre soluzioni (su questa affermazione sono certo al 99%, perchè non vorrei che la prima curva dopo un certo tratto in cui sale "lentamente" comincia a salire molto velocemente, addirittura più di $ x^7 $ e in questo caso potrebbe esserci un'altra soluzione. Questo è l'unico ragionamento a cui sono giunto.. e a calcolotrice ho trovato che il velore dell'unica soluzione che avevo ipotizzato era appunti comprese tra 1 e 2 ed era 1,538.... mentre la soluzione del problema è 9813

[karl]

Le radici sono due ed il loro prodotto esatto è:
$ \displaystyle x_1 \cdot x_2=3997^7=16298177294261358372409813 $

[amatrix92]

Le radici sono due ed il loro prodotto esatto è:
$ \displaystyle x_1 \cdot x_2=3997^7=16298177294261358372409813 $

mmm... possibile, però 1) come hai fatto ?? 2) la soluzione è diversa !! è 9813.. l'ho trovata qui: http://andfog.altervista.org/math/Squadre/Soluzioni.pdf problema 18.

[ndp15]

Sono le ultime 4 cifre da mettere come risposta.

[amatrix92]

Sono le ultime 4 cifre da mettere come risposta.

infatti.. chissà perchè io guardavo le prime 4 ... ok ma perchè è $ 3997^7 $

[karl]

Prendiamo il logaritmo in base 3997 di entrambi i membri:
$ \displaystyle \frac{1}{2}log_{3997}(399)+log_{3997} (x) \cdot log_{3997} (x)=7\cdot log_{3997}(x) $
Ovvero:
$ \displaystyle(log_{3997}(x))^2-7\cdot ( log_{3997}(x))+\frac{1}{2}log_{3997}(399)=0 $
E risolvendo questa equazione di secondo grado rispetto a $ \displaystyle log_{3997}(x) $ :
$ \displaystyle log_{3997}(x_1)=\frac{7-\sqrt{49-2\cdot log_{3997}(399)}}{2} $
$ \displaystyle log_{3997}(x_2)=\frac{7+\sqrt{49-2\cdot log_{3997}(399)}}{2} $
Da cui:
$ \displaystyle x_1=3997^{\frac{7-\sqrt{49-2\cdot log_{3997}(399)}}{2}} $
$ \displaystyle x_2=3997^{\frac{7+\sqrt{49-2\cdot log_{3997}(399)}}{2}} $
Moltiplicando ottieni appunto:
$ \displaystyle x_1\cdot x_2=3997^7 $