Progressioni

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

Sia data la seguente progressione aritmetica:
 3+10+17+24+31+… Essa ha una ragione d=7
 Si può dunque così generalizzare: P=a+(a+d)+(a+2d)+(a+nd)=[(n+1)(2a+nd)]/2, dove con n si indica il numero dei termini della progressione diminuito di uno.
 
 Sia data ora la seguente progressione aritmetica: 3+10+21+36+55+78+…..
 Essa ha ragione che aumenta dopo ogni termine di 4.
 Ora io mi chiedo: esiste una formula che mi generalizza questo tipo di progressioni???
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massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

Uppo.

edony · Messaggio da **edony** » 01 gen 1970, 01:33

a meno che non stia dicendo una grossa corbelleria a una prima occhiata direi che basta fare lo stesso procediemento chiamando la seconda ragione k ti verrebbe
 a+(a+d)+(a+2d+k)+(a+3d+2k)+...+[a+nd+(n-1)k]

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Dunque, la successione è 0; 3; 10; 21; 36; etc. Considera le differenze tra i termini, ovvero 3; 7; 11; 15; etc. Ora considera la differenza tra le differenze e cioè 4; 4; 4; etc. Allora la seconda differenza è costante. Allora la formula che dà l\'ennesimo termine è
 3n +2n(n-1)=2n^2 + n, se consideri n=0 =>0. Quindi la somma per n da 1 a N è 1/3*N(N+1)(2N+1)+ 1/2*N(N+1).

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

Grazie Evariste, le formule sono perfette.
 Ora però ti scomodo ancora.
 La formula che ti calcola la somma dei primi n numeri è 1/3*N(N+1)(2N+1)+ 1/2*N(N+1). Questa vale se e solo se la differenza fra le differenze è 4, giusto?
 Ora io mi chiedo se esiste una formula generale che ti esprima la somma sia che la differenza delle differenze è 4, sia che è 8, ecc.
 
 Detto questo volevo chiederti come sei arrivato alle 3n +2n(n-1)=2n^2 + n, 1/3*N(N+1)(2N+1)+ 1/2*N(N+1), e se poi potrai dirmi come sei arrivato alla generalizzazione per quello che ti ho chiesto.
 Grazie.
 
 P.S. Edony, sei sicuro della formula che hai scritto.

J4Ck202 · Messaggio da **J4Ck202** » 01 gen 1970, 01:33

Trattasi del classico polinomio interpolatore. Se le \"differenze delle differenze
 delle differenze etc\" son tutte uguali dopo N passi la tua successione è
 descritta da un polinomio di N-esimo grado i cui coefficienti possono essere
 ricavati da un sistemino. Ex.
 
 <pre>
 n = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , .. }
 A[n]= { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , .. }
 A\'[n]= { 1 , 1 , 1 , 1 , ... }
 
 Ti fermi dopo 1 iterazione, dunque puoi scrivere
 A[n] = a n + b
 
 A[0] = b = 3
 A[1] = a + b = 4
 
 Sistema di primo grado dal quale ricavi A[n] = n + 3
 Idem cum patatibus per i gradi superiori al primo.
 </pre>

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

Non esiste dunque una formuletta che ti permette di calcolarti la somma dei primi n numeri indipendentmente da quando le differenze delle differenze delle differenze...sono tutte uguali?
 
 Jack, volgio essere sincero con te, non è che abbia capito molto a prima vista intorno a questo polinomio che dici tu.
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Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Più semplicemente puoi ricorrere alla formula di Newton:
 data la sequenza a[n] si ponga A=a[0], B=a[1]-a[0], C=(a[2]-a[1])-(a[1]-a[0]) etc. fino ad arrivare al livello (incluso) a cui tutte le differenze sono uguali.
 Ora, l\'ennesimo termine sarà dato dalla formula
 A*(n|0) + B*(n|1) + C*(n|2) +... fino al livello detto, dove (n|a) è il coefficiente binomiale. Nel tuo caso A=0; B=3; C=4 e qui ci fermiamo.
 Allora l\'ennesimo termine sarà dato dalla formula
 0 + 3*n + 4*1/2*n(n-1)=2n^2 + n.
 Da qui per ricavare la somma dei primi N termini serve conoscere la somma dei primi N numeri e la somma dei primi N quadrati, scomponendo la sommatoria in due sommatorie separate: somma di 2n^2 con n da 0 a N e somma di n con n da 0 a N. Nel caso compaiano cubi, si può usare la formula nota, mentre per gradi superiori bisogna ricorrere alla formula e ai numeri di Bernoulli.
 
 Tutto chiaro? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">