Spero non sia troppo banale
Dalle semifinali Bocconi.
Dalle semifinali Bocconi.
Dimostrare che esistono infiniti numeri tale che moltiplicati per 4 si ottenga un numero scritto con le stesse cifre disposte al contrario.
Spero non sia troppo banale
Spero non sia troppo banale
Bonus:
Dato $ $n $ intero chiamo $ $\bar{n} $ l'intero con le stesse cifre di $ $n $ in base 10 ma disposte al contrario (se vi erano 0 alla fine vengono tolti) . Mostrare che se $ $a=\frac{n}{\bar{n}} $ è intero allora esistono x,y naturali tali che:
$ $ a=10^xy^2 $
Dato $ $n $ intero chiamo $ $\bar{n} $ l'intero con le stesse cifre di $ $n $ in base 10 ma disposte al contrario (se vi erano 0 alla fine vengono tolti) . Mostrare che se $ $a=\frac{n}{\bar{n}} $ è intero allora esistono x,y naturali tali che:
$ $ a=10^xy^2 $
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Ciao, Claudio 
Banale o no, se troviamo un numero $ \;m\; $ che soddisfa questa
proprietà, anche tutti i numeri che si ottengono affiancando
quanti $ \;m\; $ vogliamo (cioè così $ \;mmmm\cdot\cdot\cdot $) hanno la stessa
proprietà.
Si vede facilmente che non esistono numeri di due o tre cifre
che rispondano al problema, mentre ne esiste uno di quattro:
$ 4\cdot 2178\,=\,8721 $
quindi, facendo il quadruplo dei numeri di questo tipo
$ 217821782178\cdot\cdot\cdot $
(che sono naturalmente infiniti), si ottengono numeri con le
cifre disposte in senso contrario.
Anche inserendo fra $ \,21\, $ e $ \,78\, $ una quantità a piacere di $ \,9\, $,
volendo, si trova una risposta al problema.
Banale o no, se troviamo un numero $ \;m\; $ che soddisfa questa
proprietà, anche tutti i numeri che si ottengono affiancando
quanti $ \;m\; $ vogliamo (cioè così $ \;mmmm\cdot\cdot\cdot $) hanno la stessa
proprietà.
Si vede facilmente che non esistono numeri di due o tre cifre
che rispondano al problema, mentre ne esiste uno di quattro:
$ 4\cdot 2178\,=\,8721 $
quindi, facendo il quadruplo dei numeri di questo tipo
$ 217821782178\cdot\cdot\cdot $
(che sono naturalmente infiniti), si ottengono numeri con le
cifre disposte in senso contrario.
Anche inserendo fra $ \,21\, $ e $ \,78\, $ una quantità a piacere di $ \,9\, $,
volendo, si trova una risposta al problema.
Bruno
Si l'avevo notato anch'io...ma non mi piaceva molto XDBr1 ha scritto:Ciao, Claudio
Banale o no, se troviamo un numero $ \;m\; $ che soddisfa questa
proprietà, anche tutti i numeri che si ottengono affiancando
quanti $ \;m\; $ vogliamo (cioè così $ \;mmmm\cdot\cdot\cdot $) hanno la stessa
proprietà.
Si vede facilmente che non esistono numeri di due o tre cifre
che rispondano al problema, mentre ne esiste uno di quattro:
$ 4\cdot 2178\,=\,8721 $
quindi, facendo il quadruplo dei numeri di questo tipo
$ 217821782178\cdot\cdot\cdot $
(che sono naturalmente infiniti), si ottengono numeri con le
cifre disposte in senso contrario.
Anche inserendo fra $ \,21\, $ e $ \,78\, $ una quantità a piacere di $ \,9\, $,
volendo, si trova una risposta al problema.
Per dario non mi viene niente....mi servirà analizzare modulo 10? bah....
Per il bonus di Dario.
Esaminiamo prima il caso in cui n finisce con un po' di zeri: $ n = c_k c_{k-1} \ldots c_1 c_0 0_i0_{i-1} \ldots 0_20_1 = 10^i c_k c_{k-1} \ldots c_1 c_0 $ (con ovvio significato di notazione: quella è la scrittura decimale di n). Allora $ \bar{n} = c_0 c_1 \ldots c_{k-1} c_k $, e $ \displaystyle\frac{n}{\bar{n}} = 10^i \displaystyle\frac{c_k c_{k-1} \ldots c_1 c_0}{c_0 c_1 \ldots c_{k-1} c_k} $. E' chiaro quindi che basta esaminare i casi in cui n non termina con nessuno zero.
In tal caso, n e $ \bar{n} $ hanno lo stesso numero di cifre, quindi $ a \le 9 $.
Sarà $ a \bar{n} = n $. Evidentemente, $ \bar{n} \equiv n \pmod{3} $, quindi esaminando l'uguaglianza mod 3 diventa
$ an \equiv n \pmod{3} $. Distinguiamo due casi.
1° caso: (3, n) = 1 (non so come si fa il simbolo "non divide"). In tal caso si può cancellare n e ottenere la congruenza $ a \equiv 1 \pmod 3 $, cioè $ a = 1 $, $ a = 4 $ o $ a = 7 $.
Proviamo che è impossibile il caso a=7. Infatti, supponiamo che sia $ 7c_0c_1 \ldots c_{k-1} c_k = c_kc_{k-1}\ldots c_1 c_0 $. Per avere le stesse cifre, sarà evidentemente $ c_0 = 1 $. E' poi $ 7c_k \equiv c_0 \pmod {10} $, quindi $ 7c_k \equiv 1 \pmod {10} $ da cui $ c_k = 3 $. Ma $ c_k > 6 $, contraddizione! Quindi può essere solo $ a=1=1^2 $ o $ a=4=2^2 $ (che sia effettivamente possibile non ci interessa: basta sapere che se è possibile allora a, in questo caso, è un quadrato).
2° caso: $ 3|n $. Allora distinguiamo altri due casi:
Caso 2.1: 9 non divide n (simbolo?
). Allora sarà sicuramente (9, n) = 3, e dalla costatazione che $ a\bar{n} \equiv an \equiv n \pmod{9} $ si cancella e diventa $ a \equiv 1 \pmod {3} $, che si riduce al 1° caso.
Caso 2.2: $ 9| n $. Questo non riesco a farlo ma spero che almeno si apprezzi quello che ho fatto finora!
Magari ci tornerò su (è tardi).
Esaminiamo prima il caso in cui n finisce con un po' di zeri: $ n = c_k c_{k-1} \ldots c_1 c_0 0_i0_{i-1} \ldots 0_20_1 = 10^i c_k c_{k-1} \ldots c_1 c_0 $ (con ovvio significato di notazione: quella è la scrittura decimale di n). Allora $ \bar{n} = c_0 c_1 \ldots c_{k-1} c_k $, e $ \displaystyle\frac{n}{\bar{n}} = 10^i \displaystyle\frac{c_k c_{k-1} \ldots c_1 c_0}{c_0 c_1 \ldots c_{k-1} c_k} $. E' chiaro quindi che basta esaminare i casi in cui n non termina con nessuno zero.
In tal caso, n e $ \bar{n} $ hanno lo stesso numero di cifre, quindi $ a \le 9 $.
Sarà $ a \bar{n} = n $. Evidentemente, $ \bar{n} \equiv n \pmod{3} $, quindi esaminando l'uguaglianza mod 3 diventa
$ an \equiv n \pmod{3} $. Distinguiamo due casi.
1° caso: (3, n) = 1 (non so come si fa il simbolo "non divide"). In tal caso si può cancellare n e ottenere la congruenza $ a \equiv 1 \pmod 3 $, cioè $ a = 1 $, $ a = 4 $ o $ a = 7 $.
Proviamo che è impossibile il caso a=7. Infatti, supponiamo che sia $ 7c_0c_1 \ldots c_{k-1} c_k = c_kc_{k-1}\ldots c_1 c_0 $. Per avere le stesse cifre, sarà evidentemente $ c_0 = 1 $. E' poi $ 7c_k \equiv c_0 \pmod {10} $, quindi $ 7c_k \equiv 1 \pmod {10} $ da cui $ c_k = 3 $. Ma $ c_k > 6 $, contraddizione! Quindi può essere solo $ a=1=1^2 $ o $ a=4=2^2 $ (che sia effettivamente possibile non ci interessa: basta sapere che se è possibile allora a, in questo caso, è un quadrato).
2° caso: $ 3|n $. Allora distinguiamo altri due casi:
Caso 2.1: 9 non divide n (simbolo?
). Allora sarà sicuramente (9, n) = 3, e dalla costatazione che $ a\bar{n} \equiv an \equiv n \pmod{9} $ si cancella e diventa $ a \equiv 1 \pmod {3} $, che si riduce al 1° caso.Caso 2.2: $ 9| n $. Questo non riesco a farlo ma spero che almeno si apprezzi quello che ho fatto finora!
Magari ci tornerò su (è tardi)."Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"