intersezione cerchi
intersezione cerchi
due circonferenze con lo stesso raggio si intersecano in X e in Y.Sia P un punto su un arco XR di una circonferenza interna all'altra.Sapendo che il segmenteo XY è lungo 3 e che l'angolo XPY misura 120°,qual è l'area dell'interesezione tra i due cerchi?
Immagino che per arco XR intendessi l'arco XY.
Comunque chiamiamo $ \displaystyle \gamma $ la circonferenza a cui appartiene il punto P. Sia O il centro di $ \displaystyle \gamma $. Siano $ \displaystyle \alpha $ e $ \displaystyle \beta $ gli angoli individuati dalla tangente di $ \displaystyle \gamma $ passante per P e l'angolo XPY che sappiamo essere di 120 gradi.
Tramite angle chasing e' facile dimostrare che:
$ \displaystyle \alpha + \beta=60 $ gradi
$ \displaystyle XOY=2(\alpha+\beta)=120 $ gradi
A questo punto chiamiamo M il punto medio della corda XY.
Il triangolo XOM e' rettangolo per costruzione e l'angolo XOM vale 60 gradi sempre per costruzione. L'ipotenusa del triangolo XOM e' il raggio.$ \displaystyle XM=\frac{3}{2} $ quindi il raggio sara' uguale a $ \displaystyle \sqrt{3} $.
Il settore circolare individuato da XOY e' un terzo dell'area del cerchio. Sottraendo al valore del settore la superficie del triangolo XOY e moltiplicando per 2 otteniamo la superficie richiesta che salvo errori di calcolo dovrebbe essere:
$ \displaystyle 2\pi-\frac{3}{2}\sqrt{3} $
Comunque chiamiamo $ \displaystyle \gamma $ la circonferenza a cui appartiene il punto P. Sia O il centro di $ \displaystyle \gamma $. Siano $ \displaystyle \alpha $ e $ \displaystyle \beta $ gli angoli individuati dalla tangente di $ \displaystyle \gamma $ passante per P e l'angolo XPY che sappiamo essere di 120 gradi.
Tramite angle chasing e' facile dimostrare che:
$ \displaystyle \alpha + \beta=60 $ gradi
$ \displaystyle XOY=2(\alpha+\beta)=120 $ gradi
A questo punto chiamiamo M il punto medio della corda XY.
Il triangolo XOM e' rettangolo per costruzione e l'angolo XOM vale 60 gradi sempre per costruzione. L'ipotenusa del triangolo XOM e' il raggio.$ \displaystyle XM=\frac{3}{2} $ quindi il raggio sara' uguale a $ \displaystyle \sqrt{3} $.
Il settore circolare individuato da XOY e' un terzo dell'area del cerchio. Sottraendo al valore del settore la superficie del triangolo XOY e moltiplicando per 2 otteniamo la superficie richiesta che salvo errori di calcolo dovrebbe essere:
$ \displaystyle 2\pi-\frac{3}{2}\sqrt{3} $
