Qualche quesito di geometria..

[Gnottino90]

Vi elenco 3 problemi che ho provato a risolvere con esiti non troppo felici ._.

DA RETTANGOLO A QUADRATO:
Si tagli il rettangolo seguendo la linea punteggiata. Tutti e sette segmenti che formano questa linea hanno una lunghezza di un numero intero di centimetri.



Traslando i due pezzi così ottenuti (ovvero muovendoli ma senza capovolgerli) è possibile ricostituire un quadrato il cui lato misura un numero intero di centimetri, senza lasciare lacune né dando luogo a sovrapposizioni. Qual è al minimo, in centimetri, la lunghezza minima della linea punteggiata? Nota: la figura non rispetta le proporzioni.


DOPPIA COPERTURA:
Poggiando un quadrato di 4 cm di lato su un triangolo, è possibile coprire fino a due terzi della superficie di quest’ultimo. Poggiando il triangolo sul quadrato si può coprire fino a tre quarti della superficie di quest’ultimo. Quel è l’area del triangolo in cm2?


LA CUCCIA
La base della cuccia del cane di Giuliano ha forma di un esagono regolare il cui lato misura 1 metro. La cuccia è chiusa e il cane è legato fuori dalla cuccia a un vertice dell’esagono tramite una catena che misura 2 metri. Qual è, in metri quadri, l’area della regione esterna alla cuccia che il cane più calpestare? Dare la risposta esatta, utilizzando p, se necessario (si supponga che il cane non possa poggiare le sue zampe oltre l’estensione massima della catena).
(questo dovrebbe fare 3π ma a me viene 14/3 π ..)


Ringrazio ogni risposta in anticipo

[Spammowarrior]

rispondo all'ultimo, è un problema che bene o male salta fuori spesso.

devi ragionare facendoti il disegno.
considera innanzitutto l'area del settore circolare che il cane può calpestare senza girare l'angolo. questa ha area (poichè l'angolo interno dell'esagono è di 120°) (240/360)(pi)(r²) = 8pi/3

poi ripeti lo stesso ragionamento per l'area girato l'angolo, che sarà il doppio di un settore circolare di raggio 1, centro nel vertice e angolo 60° (facendosi i conti con gli angoli lo trovi facilmente), cioè pi/3

sommi, e ottieni 3 pi

[Gnottino90]

Uhm..l'avevo fatto così però avevo sbagliato un calcolo
Ora l'ho capito,grazie!!

Cmq sugli altri sono ancora fermo ._.

[Spammowarrior]

il primo dovrebbe essere 8 ma non saprei spiegarti un metodo rigoroso per risolverlo.

innanzitutto il minimo è 7, però si nota che con 7 segmenti tutti lunghi uguale non è possibile ottenere la proprietà desiderata (l'area iniziale sarebbe 20x², dove x è la lunghezza dei segmenti, che non è mai un quadrato perfetto)
provi con 8 e vedi che è possibile (tutti lunghi 1 meno l'ultimo scalino, che è lungo due e alto uno), di qui la risposta

[Gnottino90]

Uhm..ma come fai a creare il quadrato dividendo a metà il rettangolo in quel modo?

[Anlem]

Doppia copertura:
Poichè l'area massima in comune alle due figure non è influenzata dal fatto che sia il triangolo a stare sopra il quadrato o viceversa, possiamo dire che $ 2/3 $ dell'area del triangolo equivalgono a $ 3/4 $ di area del quadrato.
Quindi $ A = 3/4*3/2*16 = 18 cm^2 $

[Claudio.]

Uhm..ma come fai a creare il quadrato dividendo a metà il rettangolo in quel modo?

è abbastanza semplice
La fai scalare di un posto verso sopra:

Chiamiamo x un tratto vericale della linea tratteggiata e y quella orizontale
Quindi l'altezza è 4x e la base 5y, inoltre quando lo fai scalare puoi notare facilmente che l'altezza aumenta di 1x e che la base dimnuisce di 1y.

$ 4x+x=5y-y \Rightarrow 5x=4y\Rightarrow x=\frac45y $

Si vede subito che il minimo valore di y è 5 e quindi $ x=4 $ quindi $ h=16, b=25 $
La linea tratteggiata è lunga $ 16+25=39 $
Se non ho detto enormi ca**ate(il che è probabile) dovrebbe essere così.

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