Quanti sono i divisori di n!

[OriginalBBB]

Quanti sono i divisori di n! ? L'unica cosa (ovvia) che so al momento è che non sono minori di n e che non sono maggiori di n + (n-1) + (n-2) .....

[geda]

.... e che non sono maggiori di n + (n-1) + (n-2) .....

Sei sicuro?

Se ti vuoi convincere considera il seguente esempio:
$ 6!=720=2^43^25 $, il numero di divisori e' $ (4+1)(2+1)(1+1)=30 $, ma $ 6+5+4+3+2+1=21 $ ....

Hint: la formula di De Polignac puo' essere utile.

[Gauss91]

Ma se si sa quella formula non è banale il problema?

[Claudio.]

Quanti sono i divisori di n! ? L'unica cosa (ovvia) che so al momento è che non sono minori di n e che non sono maggiori di n + (n-1) + (n-2) .....

Se vuoi sapere solo il loro numero puoi usare la combinatoria XD
Sono $ \displaystyle n!+\left(\frac{n!}{1!}\right)+\left(\frac{n!}{2!}\right)+\left(\frac{n!}{3!}\right)+...+\left(\frac{n!}{(n-1)!}\right) $
EDIT: Mi sono scordato di togliere alcuni possibili prodotti uguali.

[geda]

Quanti sono i divisori di n! ? L'unica cosa (ovvia) che so al momento è che non sono minori di n e che non sono maggiori di n + (n-1) + (n-2) .....

Se vuoi sapere solo il loro numero puoi usare la combinatoria XD
Sono $ n!+(\frac{n!}{1!})+(\frac{n!}{2!})+(\frac{n!}{3!})+...+(\frac{n!}{(n-1)!}) $
EDIT: Mi sono scordato di togliere alcuni possibili prodotti uguali.

Mmm.. Mi sa che "i possibili prodotti uguali" sono un bel po'. Abbiamo visto che $ 6! $ ha solo 30 divisori e non 720 + ....

[Claudio.]

Quanti sono i divisori di n! ? L'unica cosa (ovvia) che so al momento è che non sono minori di n e che non sono maggiori di n + (n-1) + (n-2) .....

Se vuoi sapere solo il loro numero puoi usare la combinatoria XD
Sono $ n!+(\frac{n!}{1!})+(\frac{n!}{2!})+(\frac{n!}{3!})+...+(\frac{n!}{(n-1)!}) $
EDIT: Mi sono scordato di togliere alcuni possibili prodotti uguali.

Mmm.. Mi sa che "i possibili prodotti uguali" sono un bel po'. Abbiamo visto che $ 6! $ ha solo 30 divisori e non 720 + ....

Si ho fatto un grosso errore, poichè usando la combinatoria ho considerato i numeri semplicemente come elementi qualsiasi quindi. Mi scusa per la ca**ata (tanto per cambiare XD)

[geda]

... Mi scusa per la ca**ata (tanto per cambiare XD)

Non ti preoccupare . Prova ad andare avanti, mi pare interesante.

[mathias.jag]

Innanzitutto buongiorno a tutti...
Dai commenti precendenti noto due cose:
1) per contare i divisori di n! è sufficente fatorizzarlo in numeri primi
2) l'unico problema sussiste quindi nel trovare il più grande numero primo minore di n e determinare gli esponenti di tutti i numeri primi il cui prodotto va a costituire n!

Qualche tempo feci un corso a scuola in cui si chiedeva con quanti zeri finiva 2008!...
dopo un quatro d'ora di vuoto, mi arresi e passai ad altro, ma il punto è un altro. Il prof spiegò infatti che bastava contare TUTTE le potenze di 5 che "venivano coinvolte" in 2008! e spiegò più o meno come fare. Dopodichè.... Beh, mi accorsi che per contare ltutti i fattori primi pari a 5 che costituiscono n! bastava calcolare:
$ $\sum_{i=1}^\infty \lfloor n/5^i\rfloor$ $

quindi tutti i fattori primi pari a $ p_k $ in n! sono:

$ $\sum_{i=1}^\infty \lfloor n/(p_k)^i\rfloor$ $

quindi la formula appena detta dà, in altre parole, l'esponente che assume il fattore 5 nella fattorizzazione in fattori primi di n!

di conseguenza basta, per ottenere il numero dei divisori di n!, calcolare il seguente prodotto:

$ \prod_{i=1}^k (\sum_{h=1}^\infty \lfloor n/(p_i)^h\rfloor +1) $ dove $ p_k $ è il più grande numero primo minore di n

Giusto o ho sbagliato in qualche passaggio ???

[Fourier]

Cosa sta a significare il punto esclamativo dopo n? E poi, come mai nell'open post si dice che i divisori di n non sono minori di n? Come fa a dirlo? E poi quali tipi di divisori? Anche quelli negativi?

[trugruo]

Cosa sta a significare il punto esclamativo dopo n? E poi, come mai nell'open post si dice che i divisori di n non sono minori di n? Come fa a dirlo? E poi quali tipi di divisori? Anche quelli negativi?

http://it.wikipedia.org/wiki/Fattoriale

ah i divisori solo positivi.

[Gogo Livorno]

ehm... ok, ma anche ad avere la formula di De Polignac?

cioè, sicuramente l'algoritmo si trova, basta applicare la formula che mi restituisce la fattorizzazione e poi applicare la formula dei divisori di un intero (prodotto di tutti gli esponenti aumentati di 1), ma possiamo arrivarci a una formula chiusa?

[Euler]

Secondo me i divisori sono n(n-1)

[trugruo]

Secondo me i divisori sono n(n-1)

E secondo me questo è falso
basta vedere 3! che ha 4 divisori e non 3*2

[Euler]

Ho sparato una ca****a