Minimizzare la distanza tra 2 potenze

[dario2994]

Trovare il valore minimo al variare di m,n negli interi positivi di:
$ $ |12^m-5^n| $

p.s. non ricordo la fonte. Jordan evita di bruciarmelo

[Spammowarrior]

uhm, mi sembra insolitamente facile, quindi missà che sbaglio qualcosa.

se m=n=1 allora la differenza è 7.

dimostro che non esiste m,n tale che la differenza è minore di 7.
se la differenza fosse 6, avrei un equazione in tre addendi, di cui due sono divisibili per 6 e uno no, il che è impossibile.
analogamente per 5,4,3,2. (e -6,-5,-4,-3,-2, per cui il ragionamento è identico)
0 evidentemente non può essere.
restano solo due casi, +1 e -1.

$ 12^n - 5^m = 1 $
$ 12^n - 1 = 5^m $
$ (12-1)(12^{n-1} +12^{n-2} + ... + 1 = 5^m $

il membro di sinistra è divisibile per 11, quello di destra no.

$ 12^n - 5^m = -1 $
$ 12^n = 5^m - 1 $

fattorizzo e semplifico un 4:
$ 3^n4^n =(5-1) (5^{m-1} + 5^{m-2} + ... + 1) $
$ 3^n4^{n-1} = (5^{m-1} + 5^{m-2} + ... + 1) $
modulo 4:
$ 0 \equiv 1 + 1 + 1 + ... +1 \pmod 4 $

il membro di destra è divisibile per 4 se e solo se modulo 4 dà un numero multiplo di 4 di resti uno, quindi $ m = 4m' $

\\\ edit: se a destra non è multiplo di 4 allora n=1 che non da soluzioni \\\


$ 12^n = 5^{4m'} - 1 $
$ 12^n = 625^{m'} - 1 $

analizzo modulo 13 e noto che a destra è divisibile per 13 e a sinistra no, quindi ho finito.


va tutto bene?
sono stato un po' stringato ma spero sia comprensibile.

[jordan]

Non te l'avrei bruciato in ogni caso questo

@Spammowarrior: la dimostrazione va bene, ma sarebbe bene che impari a formalizzarla meglio. Riguardo la seconda parte, oltre il caso banale da escludere n=1, abbiamo $ 8\mid 12^n=5^m-1\implies r:=\frac{m}{2}\in \mathbb{Z} $ per cui $ 3\cdot 12^{n-1}=\left(\frac{5^r+1}{2}\right)\left(\frac{5^r-1}{2}\left) $ ma i due fattori sono interi consecutivi coprimi i cui valori saranno $ 3^n $ e $ 4^{n-1} $, ma chiaramente il secondo è molto più grande del precedente.

@Maioc92: è quello che ha fatto infatti

[Maioc92]

il secondo caso se non sbaglio si risolve molto più velocemente modulo 13

[jordan]

Own. a) Calcolare |S|, dove $ S:=\{(m,n) \in \mathbb{Z}^2:|12^m-5^n|<13\} $
b) Calcolare |T|, dove $ T:=\{(m,n) \in \mathbb{Z}^2:|12^m-5^n|<17\} $

[Spammowarrior]

ho editato e scritto meglio i miei pensieri, spero vada meglio.

sui tuoi quesiti aggiuntivi ci penso

[Spammowarrior]

ho risolto il primo.

$ |12^m -5^n| $

innanzitutto se prendo uno solo tra n e m negativi ho un intero meno un non intero, che non è intero.
se li prendo entrambi minori di 0 ho la differenza di due numeri minori di uno, che non può mai essere un intero positivo nè 0, perchè si dovrebbe avere
$ 12^n=5^m $

che è impossibile se n e m sono diversi da 0.

la prima coppia che noto è ovviamente (0;0).

considero n=0, ho

$ 5^m-1 < 13 $
che da come soluzione (0,1)

per m=0

$ 12^n-1 < 13 $

che di nuovo da (1;0).


analizzo modulo 6 e verifico che la differenza può essere solo della forma
$ 6k \pm 1 $
quindi visto che ci interessa solo se il valore assoluto è minore di 13, ci va bene solo
$ \pm 1, \pm 7, \pm 5, \pm 11 $

abbiamo già dimostrato che $ \pm 1, \pm 5 $
sono impossibili quindi passiamo agli altri.

$ 12^m - 5^n = 11 $
$ 2^m \equiv 6 \pmod {10} $
da cui, analizzando l'ultima cifra delle potenze di due, $ m=4m' $
$ 0 - (-1)^n \equiv -1 \pmod 6 $
segue n pari,
$ (-1)^{4m'} - (-1)^{n'} \equiv -2 \pmod {13} $

impossibile.


$ 12^m - 5^n = -11 $
$ -1 \equiv 1 \pmod 4 $

impossibile


$ 12^m - 5^n = -7 $
$ -1 \equiv 1 \pmod 4 $

impossibile.


$ 12^m - 5^n = 7 $
$ 0 - (-1)^n \equiv 1 \pmod 6 $

da cui n dispari.

$ 12^m - 6 = 5^n + 1 $
$ 12^m - 6 = (5+1) (5^{n-1} -5^{n-2} + ... + 1) $
$ 2^m6^{m-1} - 1 = 5^{n-1} -5^{n-2} + ... + 1 $

supponiamo m>1, si avrà


$ -1 \equiv 1 \pmod 4 $, assurdo.
prendiamo m=1 e troviamo facilmente n=1.

quindi

$ |S| = 4 $

[Spammowarrior]

proseguo e risolvo il secondo problema.

iniziamo dal caso m=0:

$ 5^n -1 < 17 $

che da valori già trovati, così come n=0.

facciamo ora il caso generale.

ricapitolando. i valori della differenza possono solo essere della forma
$ 6k \pm 1 $
ci interessa ora i valori che può assumere minori di 17 e maggiori o uguali a 13, cioè $ \pm 13 $ (i casi precedenti li do per buoni)

prendiamo

$ 12^m - 5^n = \pm 13 $

e notiamo che n deve essere pari.
se fosse dispari ($ \displaystyle n=2n' + 1 $) si avrebbe:

$ 12^m - 5*5^{2n'} = \pm 13 $
$ (-1)^m - 5(-1)^{n'}\equiv 0 \pmod {13} $
che è impossibile.

prendiamo ora

$ 12^m - 5^n = 13 $
$ 0 - (-1)^{n}\equiv 1 \pmod {6} $
da cui n dispari, ma n è pari.

tenendo conto che n è pari si può fattorizzare:
$ 12^m - 5^n = -13 $
$ 12^m + 12 = 5^n - 1 $
$ 12(12^{m-1} + 1) = 6(5^{n-1} - 5^{n-2} + ... - 1) $
$ 2*12^{m-1} + 2 = 5^{n-1} - 5^{n-2} + ... - 1 $

supponiamo m>1: allora si avrà
$ 2 \equiv 0 \pmod 4 $
quindi obbligatoriamente m=1, da cui si ricava facilmente n=2.

quindi

$ |T| = 5 $


tutto giusto?

[jordan]

Allora, prima cosa avevo chiesto di risolvere la questione in $ \mathbb{Z}^2 $; secondo ci sono due punti che non mi paiono chiari..
Al primo messaggio:

[...]$ 12^m - 5^n = 11 $
$ 2^m \equiv 6 \pmod {11} $[...]

Al secondo messaggio:

[...]
$ 12^m + 12 = 5^n - 1 $
$ 12(12^{m-1} + 1) = 6(5^{n-1} - 5^{n-2} + ... - 1) $

Ultima cosa, $ |T| $ indica quanti elementi ha l'insieme $ T $

[Spammowarrior]

Allora, prima cosa avevo chiesto di risolvere la questione in $ \mathbb{Z}^2 $; secondo ci sono due punti che non mi paiono chiari..
Al primo messaggio:

[...]$ 12^m - 5^n = 11 $
$ 2^m \equiv 6 \pmod {11} $[...]

Al secondo messaggio:

[...]
$ 12^m + 12 = 5^n - 1 $
$ 12(12^{m-1} + 1) = 6(5^{n-1} - 5^{n-2} + ... - 1) $

Ultima cosa, $ |T| $ indica quanti elementi ha l'insieme $ T $

per il primo è un typo, intendevo modulo 10.

il secondo ho raccolto 12 a sinistra e 5+1 a destra.

effettivamente non avevo visto l'insieme di appartenenza, però scusa l'ignoranza, ma se m,n fossero negativi non si avrebbero infinite soluzioni?
se prendo due numeri negativi mi viene una differenza di due numeri minori di uno, che è senza dubbio minore di 13 o 17...

per quanto riguarda la notazione, ammetto a testa bassa la mia ignoranza

[jordan]

[...]$ 12^m - 5^n = 11 $
$ 2^m \equiv 6 \pmod {11} $[...]

per il primo è un typo, intendevo modulo 10.

Allora ok, ma correggilo. Se non sbaglio c'è un altro errore subito dopo alla riga modulo 13.

[...]
$ 12^m + 12 = 5^n - 1 $
$ 12(12^{m-1} + 1) = 6(5^{n-1} - 5^{n-2} + ... - 1) $

il secondo ho raccolto 12 a sinistra e 5+1 a destra.

Come si fattorizza $ x^n-y^n $?

..effettivamente non avevo visto l'insieme di appartenenza, però scusa l'ignoranza, ma se m,n fossero negativi non si avrebbero infinite soluzioni?

Qui ho sbagliato io con le notazioni, le domande corrette erano:

Own. a) Calcolare |S|, dove $ S:=\{(m,n) \in \mathbb{Z}^2:|12^m-5^n|\in \mathbb{Z}\cap (-\infty,13)\} $
b) Calcolare |T|, dove $ T:=\{(m,n) \in \mathbb{Z}^2:|12^m-5^n|\in \mathbb{Z}\cap (-\infty,17)\} $

[Spammowarrior]

[...]$ 12^m - 5^n = 11 $
$ 2^m \equiv 6 \pmod {11} $[...]

per il primo è un typo, intendevo modulo 10.

Allora ok, ma correggilo. Se non sbaglio c'è un altro errore subito dopo alla riga modulo 13.

ovviamente hai ragione, mi ero dimenticato di un due.

[...]
$ 12^m + 12 = 5^n - 1 $
$ 12(12^{m-1} + 1) = 6(5^{n-1} - 5^{n-2} + ... - 1) $

il secondo ho raccolto 12 a sinistra e 5+1 a destra.

Come si fattorizza $ x^n-y^n $?

ok, mi sento davvero un imbecille, non ho trovato in giro tesi che confermano la validità della mia scomposizione, però funziona, a quanto mi sembra :O
cioè, se prendo quella roba e la moltiplico per 5, ottengo

$ 5^{n} - 5^{n-1} + ... - 5 $

se la moltiplico per uno ottengo

$ 5^{n-1} - 5^{n-2} + ... +5 - 1 $

se le sommo insieme ottengo

$ 5^n - 1 $

dove sto sbagliando?

..effettivamente non avevo visto l'insieme di appartenenza, però scusa l'ignoranza, ma se m,n fossero negativi non si avrebbero infinite soluzioni?

Qui ho sbagliato io con le notazioni, le domande corrette erano:

Own. a) Calcolare |S|, dove $ S:=\{(m,n) \in \mathbb{Z}^2:|12^m-5^n|\in \mathbb{Z}\cap (-\infty,13)\} $
b) Calcolare |T|, dove $ T:=\{(m,n) \in \mathbb{Z}^2:|12^m-5^n|\in \mathbb{Z}\cap (-\infty,17)\} $

ok, ma non ti seguo ancora. innanzitutto la differenza è in valore assoluto, quindi sempre positiva, quindi non capisco perchè mettere come intersezione il meno infinito...
poi se prendo n tipo meno cinquanta milioni e m=1, avrò 12 a cui sottraggo un infinitesimo, quindi un numero sicuramente minore di 13 o 17...

comunque ti ringrazio per il tempo dedicatomi

[jordan]

[...]non ho trovato in giro tesi che confermano la validità della mia scomposizione, però funziona, a quanto mi sembra :O
cioè, se prendo quella roba e la moltiplico per 5, ottengo
$ 5^{n} - 5^{n-1} + ... - 5 $
se la moltiplico per uno ottengo
$ 5^{n-1} - 5^{n-2} + ... +5 - 1 $
se le sommo insieme ottengo
$ 5^n - 1 $
dove sto sbagliando?

La prima cosa che t'avrebbe dovuto far venire il dubbio è che se lo scomponi cosi allora 6 divide $ 5^n-1 $ per ogni intero positivo n (ma ciò invece è vero se e solo se n è pari); seconda cosa, tornando al tuo procedimento, devi stare attento a tutte le volte che usi i "puntini": secondo te cosa c'è che non va in $ 5^{n-1} - 5^{n-2} + ... +5 - 1 $ almeno quando n è dispari?

Own. a) Calcolare |S|, dove $ S:=\{(m,n) \in \mathbb{Z}^2:|12^m-5^n|\in \mathbb{Z}\cap (-\infty,13)\} $
b) Calcolare |T|, dove $ T:=\{(m,n) \in \mathbb{Z}^2:|12^m-5^n|\in \mathbb{Z}\cap (-\infty,17)\} $

ok, ma non ti seguo ancora. innanzitutto la differenza è in valore assoluto, quindi sempre positiva, quindi non capisco perchè mettere come intersezione il meno infinito... poi se prendo n tipo meno cinquanta milioni e m=1, avrò 12 a cui sottraggo un infinitesimo, quindi un numero sicuramente minore di 13 o 17...

Il meno infinito come hai giustamente notato è inutile, e può essere sostituito equivalemente con 0. Il punto è che l'esempio tuo $ (m,n)=(1,-5\cdot 10^{7}) $ non funziona perchè $ 12^m-5^n $ non sarebbe intero, ma solo razionale positivo strettamente minore di 13..

comunque ti ringrazio per il tempo dedicatomi

Di nulla..

[Spammowarrior]

[...]non ho trovato in giro tesi che confermano la validità della mia scomposizione, però funziona, a quanto mi sembra :O
cioè, se prendo quella roba e la moltiplico per 5, ottengo
$ 5^{n} - 5^{n-1} + ... - 5 $
se la moltiplico per uno ottengo
$ 5^{n-1} - 5^{n-2} + ... +5 - 1 $
se le sommo insieme ottengo
$ 5^n - 1 $
dove sto sbagliando?

La prima cosa che t'avrebbe dovuto far venire il dubbio è che se lo scomponi cosi allora 6 divide $ 5^n-1 $ per ogni intero positivo n (ma ciò invece è vero se e solo se n è pari); seconda cosa, tornando al tuo procedimento, devi stare attento a tutte le volte che usi i "puntini": secondo te cosa c'è che non va in $ 5^{n-1} - 5^{n-2} + ... +5 - 1 $ almeno quando n è dispari?

ah, scusa, allora non mi sono spiegato bene: infatti ho scritto subito sopra che n è pari...
io intendevo che il meno e il più si alternano, in questo caso è giusto?

Own. a) Calcolare |S|, dove $ S:=\{(m,n) \in \mathbb{Z}^2:|12^m-5^n|\in \mathbb{Z}\cap (-\infty,13)\} $
b) Calcolare |T|, dove $ T:=\{(m,n) \in \mathbb{Z}^2:|12^m-5^n|\in \mathbb{Z}\cap (-\infty,17)\} $

ok, ma non ti seguo ancora. innanzitutto la differenza è in valore assoluto, quindi sempre positiva, quindi non capisco perchè mettere come intersezione il meno infinito... poi se prendo n tipo meno cinquanta milioni e m=1, avrò 12 a cui sottraggo un infinitesimo, quindi un numero sicuramente minore di 13 o 17...

Il meno infinito come hai giustamente notato è inutile, e può essere sostituito equivalemente con 0. Il punto è che l'esempio tuo $ (m,n)=(1,-5\cdot 10^{7}) $ non funziona perchè $ 12^m-5^n $ non sarebbe intero, ma solo razionale positivo strettamente minore di 13..

quindi posso iniziare dicendo che se prendo uno solo tra n e m negativi ho un intero meno un non intero, che non è intero.
se li prendo entrambi minori di 0 ho la differenza di due numeri minori di uno, che non può mai essere un intero positivo nè 0 (questo è abbastanza evidente).
mi restano da analizzare solo i casi in cui m o n sono 0, giusto?
devo ammettere che non ho pensato agli 0 perchè venivano esclusi dal caso iniziale

li aggiungo ora, grazie mille per tutto

[jordan]

io intendevo che il meno e il più si alternano, in questo caso è giusto?

In quel caso è giusto infatti per ogni n=2m avremo $ (5+1)\left(-\sum_{0\le i\le 2m-1}{(-5)^i}\right)=-6 \cdot \frac{(-5)^{2m}-1}{-5-1}=5^{2m}-1 $. []

..mi restano da analizzare solo i casi in cui m o n sono 0, giusto?

Esatto