L'Enigma del Cuoco

[amatrix92]

non vi travio con tutta la storiellina del Cuoco e vengo subito al problema:
Ci sono 11 pellegrini seduti a questa tavola sulla quale sono posti una torta di pere e un pasticcio di cervo, e ogni pietanza può essere divisa in quattro parti e non di più. Ora prestate attenzione, cinque degli undici pellegrini possono mangiare la torta, ma non toccheranno il pasticcio, mentre quattro mangeranno il pasticcio, ma resteranno lontani dalla torta. Inoltre i 2 che rimangono potranno mangiare l'uno o l'altro dei due cibi. Per la mia salvezza, vi è qualcuno che può dirmi in quante maniere differenti il buon Allodoliere può decidere chi servire?

[Rosinaldo]

I problemi che hai postato mi sembrano simili tra loro e non servono grandi basi per risolverli,o almeno credo ascolta mai sentito parlare di Binomio di Newton o coefficienti binomiali?prova a dare una ripassatina a questi elementi di teoria e vedi che non sarà difficile risolvere questo quesito...infatti quelli che mangiano il cervo sono 6 e quelli che mangiano la torta sono 7 e ai 4 parti da distribuire sia di cervo che di torta....

EDIT:mi sono accorto che magari i problemi li hai già risolti tutti e pretendo di dare un aiuto a uno che ne sa più di me allora lascio il problema a terzi

[amatrix92]

in realtà io sono riuscito a risolvere senza aiuti solo questo .. gli altri due ho dovuto dare una sbirciatina alle soluzioni...

[Maioc92]

I problemi che hai postato mi sembrano simili tra loro e non servono grandi basi per risolverli,o almeno credo ascolta mai sentito parlare di Binomio di Newton o coefficienti binomiali?prova a dare una ripassatina a questi elementi di teoria e vedi che non sarà difficile risolvere questo quesito...infatti quelli che mangiano il cervo sono 6 e quelli che mangiano la torta sono 7 e ai 4 parti da distribuire sia di cervo che di torta....

in realtà è appena un po' più complicato di cosi, perchè 2 o più pezzi posso anche andare alla stessa persona se ho capito bene. E' esattamente la partizione di un intero n in k parti non negative con n=4 e k=6 nel primo caso e n=4 e k=7 nel secondo. Se non sai nulla di tutto ciò e vuoi imparare le basi del calcolo combinatorio, come al solito è consigliabile guardare i video introduttivi sul sito di gobbino

[amatrix92]

nono.. ma le basi del calcolo combinatorio le ho: dai binomi di Newton, passando per Bernulli e Gouss.. sisi tutti studiati .. ma non ho capito una cosa di questo forum: si devono postare solo problemi che non riescono e si chede la risoluzione ad altri, o si posso anche proporre problemi già risolti (di difficoltà proporzionale al livello di ognuno di noi) per confrontare le prorpie soluzioni con quelle degli altri
in ogni caso nessuno ha ancora dato alcuna soluzione ai tra problemi (probabilemnte per voi elementari) da me proposti

[Euler]

Non so se ad una persona possono andare più di una fetta, ma se questo non è vero mi verrebbe da dire 185

[amatrix92]

Non so se ad una persona possono andare più di una fetta, ma se questo non è vero mi verrebbe da dire 185

Nella soluzione del libro c'è scritto: Molti diranno erroneamente 185 ...

[Gogo Livorno]

Ma la partizione di un intero non si fa solo con la formula asintotica di Ramanujan?

In questo caso ci si calcolano a mano?

[Giulius]

La formula di Ramanujan è per le partizioni di un intero, cioè per i possibili modi di scrivere l'intero come somma di interi nonnegativi, senza specificare il numero di addendi.
In questo caso invece il numero di addendi lo sai. Giusto per spiegare un trucchetto magari non ovvio dimostriamo che le partizioni di un intero n>0 in k>0 addendi nonnegativi sono $ p_{n,k}=\binom{n+k-1}{k-1} $.
Infatti supponiamo di avere una serie di n+k-1 zeri e di modificarne k-1 a piacere in uno. è chiaro che per ogni configurazione diversa otteniamo una possibile diversa somma di k addendi che ci piace (cioè ad ogni sequenza di zeri tra due uno contigui associamo un addendo di valore pari alla lunghezza della sequenza).
Ma le possibili scelte sono appunto $ \binom{n+k-1}{k-1} $
ad esempio supponiamo di volere il numero di partizioni di 13 in 4 addendi. allora faccio 16 zeri:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ne scelgo 3 a caso e li cambio in 1:
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
quindi otteniamo la somma 0+6+3+4=13 che funziona così come per ogni altra possibile scelta. Allora risulta $ p_{13,4}=\binom{16}{3} $.
Detto questo il problema è praticamente fatto (in bianco qui sotto i dettagli)
i possibili modi che vanno bene di distribuire il cervo sono p_{4,6} e i possibili modi di distribuire la torta sono p_{4,7}. Quindi il risultato è 9 su 5 per 10 su 6

Bonus: se potessimo dividere sia il cervo che la torta in 8 parti ciascuno, quanti modi avrebbe il cuoco di distribuire il cibo agli 11 pellegrini, con le stesse condizioni di prima richiedendo in più che nessuno resti senza mangiare?

[amatrix92]

La formula di Ramanujan è per le partizioni di un intero, cioè per i possibili modi di scrivere l'intero come somma di interi nonnegativi, senza specificare il numero di addendi.
In questo caso invece il numero di addendi lo sai. Giusto per spiegare un trucchetto magari non ovvio dimostriamo che le partizioni di un intero n>0 in k>0 addendi nonnegativi sono $ p_{n,k}=\binom{n+k-1}{k-1} $.
Infatti supponiamo di avere una serie di n+k-1 zeri e di modificarne k-1 a piacere in uno. è chiaro che per ogni configurazione diversa otteniamo una possibile diversa somma di k addendi che ci piace (cioè ad ogni sequenza di zeri tra due uno contigui associamo un addendo di valore pari alla lunghezza della sequenza).
Ma le possibili scelte sono appunto $ \binom{n+k-1}{k-1} $
ad esempio supponiamo di volere il numero di partizioni di 13 in 4 addendi. allora faccio 16 zeri:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ne scelgo 3 a caso e li cambio in 1:
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
quindi otteniamo la somma 0+6+3+4=13 che funziona così come per ogni altra possibile scelta. Allora risulta $ p_{13,4}=\binom{16}{3} $.
Detto questo il problema è praticamente fatto (in bianco qui sotto i dettagli)
i possibili modi che vanno bene di distribuire il cervo sono p_{4,6} e i possibili modi di distribuire la torta sono p_{4,7}. Quindi il risultato è 9 su 5 per 10 su 6

No, è sbagliato; il tuo risultato è 26460 Euler dicendo 185 aveva soltanto contato 2 volte uno stesso gruppo, il risultato è quindi sbagliato.