Provo la mia prima equazione funzionale dopo aver letto la dispensa di Federico Poloni (che se mi vedesse probabilmente mi strozzerebbe!
![Razz :P](./images/smilies/icon_razz.gif)
).
Scelgo m ed n tali che $ m^2 + n = p $ primo. Allora $ [f(m)]^2 + f(n) | p^2 $, cioè
(i) $ [f(m)]^2 + f(n) = 1 $, che è impossibile.
(ii) $ [f(m)]^2 + f(n) = p $, in tal caso $ [f(m)]^2 + f(n) = m^2 + n $ cioè $ f(x) = x, \forall x \in \mathbb{N} $.
(iii) $ [f(m)]^2 + f(n) = p^2 = (m^2 + n)^2 $. Operando $ n \rightarrow m $ si ottiene $ [f(m)]^2 + f(m) = (m^2 + m)^2 $, cioè $ [f(m)]^2 + f(m) - (m^2 + m)^2 = 0, \forall m \in \mathbb{N} $. Questa uguaglianza deve essere identicamente vera e ciò succede per
$ f(m) = \displaystyle\frac{-1 + \sqrt{1 + 4(m^2+m)^2}}{2} $, ma questa funzione non assume mai valori naturali, quindi la soluzione non è accettabile.
In conclusione, $ f(x) = x, \forall x \in \mathbb{N} $, e si vede facilmente che è effettivamente soluzione.