Data la seguente disequazione: $ x^n > x^{n-1} + x^{n-2} +... + x^2 + x $ per $ x>1 $ e $ n $numero intero positivo. Determinare il rapporto tra $ x $ e $ n $ perchè la disequazione sia vera. Es. per $ x=1,2 $ e $ n=330 $ è falsa, ma per $ x=3 $ e $ n=100 $ la disequazione è vera.
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x^n > x^ n-1+...+x^2+x
x^n > x^ n-1+...+x^2+x
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Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
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Gogo Livorno
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Re: x^n > x^ n-1+...+x^2+x
Ma scusa, una potenza di 2 non è sempre maggiore della somma di tutte quelle prima di lei?amatrix92 ha scritto:Data la seguente disequazione: $ x^n > x^{n-1} + x^{n-2} +... + x^2 + x $ per $ x>1 $ e $ n $numero intero positivo. Determinare il rapporto tra $ x $ e $ n $ perchè la disequazione sia vera. Es. per $ x=2 $ e $ n=330 $ è falsa, ma per $ x=3 $ e $ n=100 $ la disequazione è vera.
Infatti, la somma di tutte le potenze di 2 da 0 a n-1, con la formula della serie geometrica viene S=(2^n -1)/(2-1)=2^n-1
Ti torna?
il membro destro può esser scritto come $ \frac{x^n-x}{x-1} $. bisogna quindi risolvere la disequazione $ x^n-\frac{(x^n-x)}{x-1}>0 $, equivalente a $ \frac{x^{n+1}-2x^n+x}{x-1}>0 $
per ipotesi il denominatore è sempre maggiore di zero, quindi la disequazione è vera quando il numeratore è >0.
ma il numeratore può esser scritto come $ x^n(x-2)+x $ che risulta maggiore di zero per ogni x>1, n>0. pertanto la disequazione risulta sempre vera.
ora, dov'è l'errore?
per ipotesi il denominatore è sempre maggiore di zero, quindi la disequazione è vera quando il numeratore è >0.
ma il numeratore può esser scritto come $ x^n(x-2)+x $ che risulta maggiore di zero per ogni x>1, n>0. pertanto la disequazione risulta sempre vera.
ora, dov'è l'errore?
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no non per x > 1!, prova per esempio con 1,5. vedi che non torna.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: x^n > x^ n-1+...+x^2+x
Sì scusa ora edito volevo scrivere 1,2 non 2 .Gogo Livorno ha scritto:Ma scusa, una potenza di 2 non è sempre maggiore della somma di tutte quelle prima di lei?amatrix92 ha scritto:Data la seguente disequazione: $ x^n > x^{n-1} + x^{n-2} +... + x^2 + x $ per $ x>1 $ e $ n $numero intero positivo. Determinare il rapporto tra $ x $ e $ n $ perchè la disequazione sia vera. Es. per $ x=2 $ e $ n=330 $ è falsa, ma per $ x=3 $ e $ n=100 $ la disequazione è vera.
Infatti, la somma di tutte le potenze di 2 da 0 a n-1, con la formula della serie geometrica viene S=(2^n -1)/(2-1)=2^n-1
Ti torna?
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.