Premetto che non sono riuscito a farlo e che non sapevo se metterlo o meno nel topic poco sotto (anche questo mi sembrerebbe un caso particolare del problema di Apollonio). Se ritenete accorpate
Costruzione circonferenze tangenti
Costruzione circonferenze tangenti
Data una circonferenza C, costruire con riga e compasso tre circonferenze (di raggio uguale) tangenti tra loro e tangenti internamente a C.
Premetto che non sono riuscito a farlo e che non sapevo se metterlo o meno nel topic poco sotto (anche questo mi sembrerebbe un caso particolare del problema di Apollonio). Se ritenete accorpate
Premetto che non sono riuscito a farlo e che non sapevo se metterlo o meno nel topic poco sotto (anche questo mi sembrerebbe un caso particolare del problema di Apollonio). Se ritenete accorpate
Si potrebbero tracciare 6 raggi che dividono la circonferenza maggiore in 6 parti uguali, così 3 li usiamo per metterci i centri alla stessa distanza dalla circonferenza maggiore e 3 saranno le rette di tangenza fre le 3 circonferenze. Così, chiamando r il raggio della circonferenza maggiore, dobbiamo porre i centri delle altre 3 in modo che la distanza del centro di una delle 3 circonferenze dalla circonferenza maggiore sia uguale al segmento perpendicolare al raggio che viene subito dopo che arriva al centro stesso e sappiamo che deve essere uguale alla prima distanza (chiamiamo queste 2 distanze, cioè i raggi, x). Allora, visto che l'angolo tra 2 raggi vicini è 60°, basta risolvere l'equazione x+2x/√3=r, quindi x=r√3/(√3+2).
Spero di essere stato chiaro.
Spero di essere stato chiaro.
@Euler: il problema richiede una costruzione con riga e compasso, quindi non puoi impostare equazioni algebriche, risolverle e infilare dentro la figura la soluzione (almeno per quanto ne so io) 
.
Provo a postare la mia soluzione. Intanto spero che le tre circonferenze siano tangenti ESTERNAMENTE altrimenti è troppo facile basta costruirne 3 una dentro l'altra
. Quindi suppongo che siano appunto 3 circonferenze tangenti esternamente tra di loro ed internamente alla circonferenza data
Sia O il centro della circonferenza data, sia tale circonferenza $ \Gamma $. Si costruisca un triangolo equilatero circoscritto alla circonferenza (si può fare con riga e compasso). Sia ABC tale triangolo. Si traccino le congiungenti OA, OB e OC. Si costruiscano le circonferenze inscritte ai triangoli OAB, OAC, OBC (possibile con riga e compasso).
Fatto 1: Esse saranno tangenti a $ \Gamma $.
Infatti il triangolo, per esempio, OAB, è isoscele. Chiamo quindi OH l'altezza relativa al lato AB: essendo OAB isoscele, essa è anche bisettrice. Il centro della circonferenza inscritta starà sul segmento OH, e siccome OH è perpendicolare ad AB, e AB è tangente a tale circonferenza, il punto di tangenza sarà proprio H, che appartiene a $ \Gamma $ (la dimostrazione dell'appartenenza di H a $ \Gamma $ è analoga, ragionando però sul triangolo ABC e mettendo in conto che OC e OH sono allineati).
Fatto 2: Esse saranno tangenti tra loro.
Infatti, essendo ABC equilatero, i segmenti OA, OB, OC appartengono ai suoi assi di simmetria. Basta notare che ogni triangolo tra OAB, OAC, OBC è simmetrico di un altro rispetto a qualcuno di tali assi. In particolare, consideriamo il triangolo OAB: siano H (come prima) K, L i punti di tangenza della sua circonferenza inscritta. Supponiamo che K stia su OA. Allora, essendo il triangolo OAC simmetrico di OAB rispetto ad OA, e siccome K sta su OA, il punto di tangenza della circonferenza inscritta a OAC coincide con K. Ciò è la tesi.
.Provo a postare la mia soluzione. Intanto spero che le tre circonferenze siano tangenti ESTERNAMENTE altrimenti è troppo facile basta costruirne 3 una dentro l'altra
. Quindi suppongo che siano appunto 3 circonferenze tangenti esternamente tra di loro ed internamente alla circonferenza dataSia O il centro della circonferenza data, sia tale circonferenza $ \Gamma $. Si costruisca un triangolo equilatero circoscritto alla circonferenza (si può fare con riga e compasso). Sia ABC tale triangolo. Si traccino le congiungenti OA, OB e OC. Si costruiscano le circonferenze inscritte ai triangoli OAB, OAC, OBC (possibile con riga e compasso).
Fatto 1: Esse saranno tangenti a $ \Gamma $.
Infatti il triangolo, per esempio, OAB, è isoscele. Chiamo quindi OH l'altezza relativa al lato AB: essendo OAB isoscele, essa è anche bisettrice. Il centro della circonferenza inscritta starà sul segmento OH, e siccome OH è perpendicolare ad AB, e AB è tangente a tale circonferenza, il punto di tangenza sarà proprio H, che appartiene a $ \Gamma $ (la dimostrazione dell'appartenenza di H a $ \Gamma $ è analoga, ragionando però sul triangolo ABC e mettendo in conto che OC e OH sono allineati).
Fatto 2: Esse saranno tangenti tra loro.
Infatti, essendo ABC equilatero, i segmenti OA, OB, OC appartengono ai suoi assi di simmetria. Basta notare che ogni triangolo tra OAB, OAC, OBC è simmetrico di un altro rispetto a qualcuno di tali assi. In particolare, consideriamo il triangolo OAB: siano H (come prima) K, L i punti di tangenza della sua circonferenza inscritta. Supponiamo che K stia su OA. Allora, essendo il triangolo OAC simmetrico di OAB rispetto ad OA, e siccome K sta su OA, il punto di tangenza della circonferenza inscritta a OAC coincide con K. Ciò è la tesi.
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"