n^4 + 4^n

[it22]

Ciao potete dirmi come dimostrereste che n^4 + 4^n è primo solo per n=1 ??
Io l'ho fatto però non mi piace molto come dimostrazione...
P.S. :
l'esercizio non specifica se deve essere intero o simili.

[Spammowarrior]

il metodo classico per dimostrare che non è primo è cercare di fattorizzare.
in particolare questo si fattorizza con l'identità di sophie germaine, ne hai mai sentito parlare?

[it22]

Sì, ho provato proprio così, ma non sono riuscito a conlcuderlo in maniera ''elegante'', questa è la mia scomposizione:

(n^2+ 2^n+ 2^[(n+1)/2] * n) ( n^2 + 2^n - 2^[(n+1)/2] * n)

Scusate ma non sono pratico con il latex!

[gibo92]

il metodo classico per dimostrare che non è primo è cercare di fattorizzare.
in particolare questo si fattorizza con l'identità di sophie germaine, ne hai mai sentito parlare?

l'identità è
$ a^{4}+4b^{4}=\left ( a^{2}+2b^{2}+2ab \right )\left ( a^{2}+2b^{2}-2ab \right ) $
per n pari è ovvio ke il numero è divisibile per 2, per $ n\equiv 1\left ( mod4 \right ) $ c'è sophie germaine ma per $ n\equiv -1\left ( mod4 \right ) $?

[ale.b]

se n è dispari vale comunque la fattorizzazione che ha fatto lui. o no?

[Spammowarrior]

il metodo classico per dimostrare che non è primo è cercare di fattorizzare.
in particolare questo si fattorizza con l'identità di sophie germaine, ne hai mai sentito parlare?

l'identità è
$ a^{4}+4b^{4}=\left ( a^{2}+2b^{2}+2ab \right )\left ( a^{2}+2b^{2}-2ab \right ) $
per n pari è ovvio ke il numero è divisibile per 2, per $ n\equiv 1\left ( mod4 \right ) $ c'è sophie germaine ma per $ n\equiv -1\left ( mod4 \right ) $?

allora, effettivamente l'applicazione di sophie germaine non è così immediata, si deve prima fare qualche ragionamento.


se n pari ovviamente la somma non è prima, perchè è pari e maggiore di 2.

quindi
$ \displaystyle n=2n'+1 $
$ \displaystyle n^4 + 4^{2n'+1} $
$ \displaystyle n^4 + 2^{4n'+2} $
$ \displaystyle n^4 + 4 \cdot 2^{4n'} $

e qui si applica sophie germaine su n e $ 2^{n'} $

una volta scomposto si pongono i due fattori uguali a uno e si verifica se per n che soddisfano il prodotto è primo, e si trova che funziona solo per n=1 <8detto in breve)

per risponderti, in pratica nel tuo caso non devi ragionare mod 4 bensì mod 2

[gibo92]

giusto! non ci avevo proprio pensato...