n felice

[gibo92]

Si chiamano felici i numeri interi n che si scrivono nella forma $ n=a^{2}+b^{2} $ con a,b interi positivi. Se t è un numero felica dimostrare che:
1)2t è felice
3)3t non è felice

[<enigma>]

Io userei l'identità di Brahmagupta-Fibonacci, $ (a^2+b^2 )(c^2+d^2 )=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 $: poiché 2 è somma di quadrati mentre 3 non lo è, l'affermazione che hai fatto segue. In alternativa, si potrebbe usare un'estensione del teorema di Fermat sulle somme di due quadrati, e cioè: $ n $ è somma di due quadrati se e solo se ogni suo fattore primo congruente a $ -1 \pmod 4 $ appare con esponente pari nella sua scomposizione: la moltiplicazione per 2 non cambia la parità di tali fattori, mentre la moltiplicazione per 3 aggiunge 1 e quindi fa passare la parità della somma degli esponenti dei fattori primi suddetti ad un numero dispari, rendendo $ n $ non rappresentabile come somma di quadrati.

[gibo92]

corretto!

[Gogo Livorno]

Senza perdita di generalità supponiamo a>b.

t=a^2 + b^2

1) Basti osservare che (a-b)^2 + (a+b)^2 = a^2 + b^2 -2ab + a^2 + b^2 + 2ab = 2(a^2 + b^2) = 2t. Dunque anche 2t è esprimibile come somma di due quadrati.

2) Sia 3t = c^2 + d^2
- I residui quadratici modulo 3 sono solo 0 e 1.
- 3t è divisibile per 3.
- Dunque l'unica combinazione possibile di resti è che sia c che d siano divisibili per 3.
- Dunque c^2 e d^2 sono divisibili per 9, quindi anche 3t è divisibile per 9 e in particolare t è divisibile per 3.
- Sia t=3t'.
- Abbiamo che 3t' = a^2 + b^2.
- Ci siamo ricondotti allo stesso caso di prima, che porterrà alla conclusione che t' è divisibile per tre.
- Procedendo avremmo che t è divisibile per un infinito numero di fattori 3, il che è impossibile per t intero positivo per il principio della discesa infinita.

Ergo, 3t NON è un numero felice.

[<enigma>]

Senza perdita di generalità supponiamo a>b.

t=a^2 + b^2

1) Basti osservare che (a-b)^2 + (a+b)^2 = a^2 + b^2 -2ab + a^2 + b^2 + 2ab = 2(a^2 + b^2) = 2t. Dunque anche 2t è esprimibile come somma di due quadrati.

2) Sia 3t = c^2 + d^2
- I residui quadratici modulo 3 sono solo 0 e 1.
- 3t è divisibile per 3.
- Dunque l'unica combinazione possibile di resti è che sia c che d siano divisibili per 3.
- Dunque c^2 e d^2 sono divisibili per 9, quindi anche 3t è divisibile per 9 e in particolare t è divisibile per 3.
- Sia t=3t'.
- Abbiamo che 3t' = a^2 + b^2.
- Ci siamo ricondotti allo stesso caso di prima, che porterrà alla conclusione che t' è divisibile per tre.
- Procedendo avremmo che t è divisibile per un infinito numero di fattori 3, il che è impossibile per t intero positivo per il principio della discesa infinita.

Ergo, 3t NON è un numero felice.

Bella dimostrazione, questa sì che è elementare!