Bonus: E se il numero di lati non è un numero primo?
p.s. E' una generalizzazione del problema 2 delle balkan 2001, è figo, forse noto.
p.p.s. Buona Pasqua
Se un poligono è equiangolo allora è equilatero
Se un poligono è equiangolo allora è equilatero
Mostrare che se un poligono con un numero primo di lati e con gli angoli tutti uguali ha i lati di lunghezza razionale allora è regolare.
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p.s. E' una generalizzazione del problema 2 delle balkan 2001, è figo, forse noto.
p.p.s. Buona Pasqua
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p.s. E' una generalizzazione del problema 2 delle balkan 2001, è figo, forse noto.
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...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Vero 
Ti ringrazio per non avermelo bruciato, comunque neanche allora qualcuno aveva postato una vera e propria soluzione 
Ti ringrazio per non avermelo bruciato, comunque neanche allora qualcuno aveva postato una vera e propria soluzione ...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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La soluzione che propongo ha pochissimo di geometrico e molto di algebrico.
Sia $ V_1V_2\cdots V_p $ il poligono ipotizzato, siano $ l_1,l_2,\cdots,l_p $ le lunghezze razionali dei suoi lati (si intende che il lato $ V_1V_2 $ ha lunghezza $ l_1 $, $ V_2V_3 $ ha lunghezza $ l_2 $, e così via). Chiamiamo $ \omega $ la radice p-esima complessa di 1 diversa da 1 e il cui vettore nel piano di Gauss formi l'angolo più piccolo con l'asse reale (insomma, la prima che si becca in senso antiorario a partire da 1 sulla circonferenza unitaria). Fissiamo nel piano di Gauss $ V_1=0 $ e $ V_p=-l_p $. Allora il generico vettore $ V_iV_{i+1} $ è rappresentato dal complesso $ \omega^il_i $, di modo che l'angolo tra due vettori consecutivi sia sempre l'argomento di $ \omega $, e la lunghezza del vettore sia quella giusta. Poiché il poligono si chiude, deve essere:
$ $\sum_{i=1}^p l_i\omega^i=0 $
ossia $ \omega $ è una radice del polinomio
$ p(x)=l_px^{p-1}+l_{p-1}x^{p-2}+\cdots+l_2x+l_1 $
(ricordando che $ \omega\neq 0 $ possiamo dividere il vero polinomio per x).
Sia ora $ q(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1 $. Sappiamo che questo polinomio ha $ \omega $ come radice e per il criterio di Eisenstein applicato a q(x+1) non è scomponibile in $ \mathbb{Q} $. Poiché $ p(x) $ e $ q(x) $ hanno una radice in comune, il loro massimo comune divisore $ d(x) $ è un polinomio di grado almeno 1 ed è comunque a coefficienti razionali (questo si prova con l'algoritmo di Euclide per il MCD); ma allora questo massimo comune divisore deve essere $ q(x) $ stesso, ovvero $ p(x)=kq(x) $ per un certo $ k $ razionale. Tale $ k $ viene così ad essere la misura di ogni lato.
Se invece il numero di lati non è primo, allora si può scrivere come $ a\cdot b $, con $ a $ e $ b $ interi maggiori di 1. In questo caso , prendendo tutti i lati uguali ma raddoppiando quelli di indice $ a $, si riesce a chiudere il poligono: basta fare i conticini con i complessi usando $ \omega $ come definito sopra.
Sia $ V_1V_2\cdots V_p $ il poligono ipotizzato, siano $ l_1,l_2,\cdots,l_p $ le lunghezze razionali dei suoi lati (si intende che il lato $ V_1V_2 $ ha lunghezza $ l_1 $, $ V_2V_3 $ ha lunghezza $ l_2 $, e così via). Chiamiamo $ \omega $ la radice p-esima complessa di 1 diversa da 1 e il cui vettore nel piano di Gauss formi l'angolo più piccolo con l'asse reale (insomma, la prima che si becca in senso antiorario a partire da 1 sulla circonferenza unitaria). Fissiamo nel piano di Gauss $ V_1=0 $ e $ V_p=-l_p $. Allora il generico vettore $ V_iV_{i+1} $ è rappresentato dal complesso $ \omega^il_i $, di modo che l'angolo tra due vettori consecutivi sia sempre l'argomento di $ \omega $, e la lunghezza del vettore sia quella giusta. Poiché il poligono si chiude, deve essere:
$ $\sum_{i=1}^p l_i\omega^i=0 $
ossia $ \omega $ è una radice del polinomio
$ p(x)=l_px^{p-1}+l_{p-1}x^{p-2}+\cdots+l_2x+l_1 $
(ricordando che $ \omega\neq 0 $ possiamo dividere il vero polinomio per x).
Sia ora $ q(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1 $. Sappiamo che questo polinomio ha $ \omega $ come radice e per il criterio di Eisenstein applicato a q(x+1) non è scomponibile in $ \mathbb{Q} $. Poiché $ p(x) $ e $ q(x) $ hanno una radice in comune, il loro massimo comune divisore $ d(x) $ è un polinomio di grado almeno 1 ed è comunque a coefficienti razionali (questo si prova con l'algoritmo di Euclide per il MCD); ma allora questo massimo comune divisore deve essere $ q(x) $ stesso, ovvero $ p(x)=kq(x) $ per un certo $ k $ razionale. Tale $ k $ viene così ad essere la misura di ogni lato.
Se invece il numero di lati non è primo, allora si può scrivere come $ a\cdot b $, con $ a $ e $ b $ interi maggiori di 1. In questo caso , prendendo tutti i lati uguali ma raddoppiando quelli di indice $ a $, si riesce a chiudere il poligono: basta fare i conticini con i complessi usando $ \omega $ come definito sopra.
Sono il cuoco della nazionale!
Perfetto
Mi sono accorto, che sfruttando un ragionamento del genere si poteva risolvere un cese 1 con una semplice divisione tra polinomi. Non ricordo di che anno fosse, ma era quello in cui davano 4 lati interi di un esagono equiangolo e si dovevano trovare gli altri 2... sarebbe stato bello farlo dividendo il "polinomio dei lati" per il sesto polinomio ciclotomico xD Chissa se qualcuno l'ha fatto...
Mi sono accorto, che sfruttando un ragionamento del genere si poteva risolvere un cese 1 con una semplice divisione tra polinomi. Non ricordo di che anno fosse, ma era quello in cui davano 4 lati interi di un esagono equiangolo e si dovevano trovare gli altri 2... sarebbe stato bello farlo dividendo il "polinomio dei lati" per il sesto polinomio ciclotomico xD Chissa se qualcuno l'ha fatto...
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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mathias.jag
- Messaggi: 11
- Iscritto il: 20 feb 2010, 13:26
Buongiorno... perdonatemi la mia ignoranza:
"Fissiamo nel piano di Gauss .........." E da qui mi perdo. potete spiegarmelo appena avete tempo ? non capisco.... potete magari introdurmi i concetti che avete usato o darmi l'indirizzo di un posto dove capire cosa voglion dire i passaggi dopo perfavore ?
"Fissiamo nel piano di Gauss .........." E da qui mi perdo. potete spiegarmelo appena avete tempo ? non capisco.... potete magari introdurmi i concetti che avete usato o darmi l'indirizzo di un posto dove capire cosa voglion dire i passaggi dopo perfavore ?
Il piano di Gauss è il normale piano cartesiano, in cui però ai punti corrispondono i numeri complessi; più precisamente al punto di coordinate (x;y) corrisponde il complesso x+iy. In questo modo è possibile trasformare la geometria in algebra dei complessi e poi fare i conti. Per la somma i complessi funzionano un po' come i vettori, ma le moltiplicazioni diventano rotoomotetie con centro nell'origine degli assi; più precisamente la moltiplicazione per il complesso z è una rotomotetia che ha come fattore omotetico il valore assoluto di z e come angolo di rotazione in senso antiorario l'angolo che il vettore dall'origine al punto z forma con l'asse delle x; tale angolo è anche noto come argomento del complesso z.
Nella fattispecie puoi rototraslare il tuo poligono come vuoi (o fissare il sistema di coordinate come vuoi), per cui puoi snellire i conti imponendo che uno dei vertici sia proprio l'origine (il complesso 0) e un'altro stia sull'asse delle x (ossia sia rappresentato da un complesso di parte immaginaria nulla).
Nella fattispecie puoi rototraslare il tuo poligono come vuoi (o fissare il sistema di coordinate come vuoi), per cui puoi snellire i conti imponendo che uno dei vertici sia proprio l'origine (il complesso 0) e un'altro stia sull'asse delle x (ossia sia rappresentato da un complesso di parte immaginaria nulla).
Sono il cuoco della nazionale!