Diagonale su rettangolo quadrettato

[Euler]

Abbiamo un rettangolo quadrettato di lati a e b, determinare il numero di quadretti attraversati dalla diagonale in funzione dei lati

[spugna]

Se un quadretto ha in comune solo un vertice con la diagonale lo considero attraversato?

[dario2994]

Non so cosa dica il problema, ma è più figo se non lo consideri attraversato

[mathias.jag]

Allora, io farei così, ma non so se la dimostrazione possa essere considerata tale mantenendo la dignità del nome... tenterò di mettere giù in modo formale una mia intuizione un po alla cavolo...

Noto innanzitutto che il problema equivale a risolvere il sistema:
$ b/a x +b = y (retta) \quad $
$ x+ t = y $
con t inteso come un parametro appartenente all'insieme dei numeri naturali compreso tra b e -a
si noti che la retta col parametro variabile si interseca col la "prima" rettaun numero di volte pari al numero di tutti i naturali compresi tra$ a-1 $ e 0 sommati ai numeri naturali compresi tra $ b-1 $ e 0, che sono in totale a+b-1 ( provare con il grafico per credere....) questo vale se i lati a e b sono numeri primi tra loro, se non lo sono, allora si ha che se, posto k come il massimo comun divisore tra a e b (scusate, ma non uso bene il LaTeX) $ k(a/k +b/k -1) $ poichè questo equivale a contare i quadretti che attraversa l'ipotenusa di k triangolini "primi"....

In sisntesi la formula è, detto k il massimo comun divisore tra a e b:
$ a+b-k $

Giusto ?

P.s. scusate, ma non riesco a esser breve...

[mathias.jag]

Allora, io farei così, ma non so se la dimostrazione possa essere considerata tale mantenendo la dignità del nome... tenterò di mettere giù in modo formale una mia intuizione un po alla cavolo...

Noto innanzitutto che il problema equivale a risolvere il sistema:
$ b/a x +b = y (retta) \quad $
$ x+ t = y $
con t inteso come un parametro appartenente all'insieme dei numeri naturali compreso tra b e -a
si noti che la retta col parametro variabile si interseca col la "prima" rettaun numero di volte pari al numero di tutti i naturali compresi tra$ a-1 $ e 0 sommati ai numeri naturali compresi tra $ b-1 $ e 0, che sono in totale a+b-1 ( provare con il grafico per credere....) questo vale se i lati a e b sono numeri primi tra loro, se non lo sono, allora si ha che se, posto k come il massimo comun divisore tra a e b (scusate, ma non uso bene il LaTeX) $ k(a/k +b/k -1) $ poichè questo equivale a contare i quadretti che attraversa l'ipotenusa di k triangolini "primi"....

In sisntesi la formula è, detto k il massimo comun divisore tra a e b:
$ a+b-k $

Giusto ?

P.s. scusate, ma non riesco a esser breve...

[mathias.jag]

Allora, io farei così, ma non so se la dimostrazione possa essere considerata tale mantenendo la dignità del nome... tenterò di mettere giù in modo formale una mia intuizione un po alla cavolo...

Noto innanzitutto che il problema equivale a risolvere il sistema:
$ b/a x +b = y (retta) \quad $
$ x+ t = y $
con t inteso come un parametro appartenente all'insieme dei numeri naturali compreso tra b e -a
si noti che la retta col parametro variabile si interseca col la "prima" rettaun numero di volte pari al numero di tutti i naturali compresi tra$ a-1 $ e 0 sommati ai numeri naturali compresi tra $ b-1 $ e 0, che sono in totale a+b-1 ( provare con il grafico per credere....) questo vale se i lati a e b sono numeri primi tra loro, se non lo sono, allora si ha che se, posto k come il massimo comun divisore tra a e b (scusate, ma non uso bene il LaTeX) $ k(a/k +b/k -1) $ poichè questo equivale a contare i quadretti che attraversa l'ipotenusa di k triangolini "primi"....

In sisntesi la formula è, detto k il massimo comun divisore tra a e b:
$ a+b-k $

Giusto ?

P.s. scusate, ma non riesco a esser breve...

[Euler]

Sì è esatto, considerando che se la diagonale tocca solo un vertice di un quadrato, allora non lo attraversa. Comunque penso che sarebbe bastata una dimostrazione un po' più corta .

[mathias.jag]

sì, magari per induzione.... bah. La formula si intuisce dopo qualche prova,quindi si potrebbe anche fare, ma io sono fermamente contro la dimostrazione per induzione in quanto mi sembra un pò..... strana. partire dalla formula con la quale concludi non mi piace, anche perchè la dimostrazione per induzione di formule tipo quelle che servono per calcolare le somme parziali delle prime n potenze deviano il lettore dalla dimostrazione originale, quella che si è usata per scoprire il polinomio....
bah.

[Euler]

sì, magari per induzione.... bah. La formula si intuisce dopo qualche prova,quindi si potrebbe anche fare, ma io sono fermamente contro la dimostrazione per induzione in quanto mi sembra un pò..... strana. partire dalla formula con la quale concludi non mi piace, anche perchè la dimostrazione per induzione di formule tipo quelle che servono per calcolare le somme parziali delle prime n potenze deviano il lettore dalla dimostrazione originale, quella che si è usata per scoprire il polinomio....
bah.

Io non ho usato un' induzione, ma ho semplicemente considerato che se i lati sono primi tra di loro, allora, considerando ad esempio il lato a, abbiamo a quadrati di intersezione più tanti altri quadrati quanti le linee della griglia in b, che sono b-1, quindi il numero di quadrati è a+b-1. Se invece i lati sono divisibili per uno stesso numero che non è 1, allora il numero sarà a+b-1-k, dove k è il MCD-1, perchè infatti avremo k punti appartenenti alla griglia in cui la diagonale passa. Allora in generale è a+b-MCD(a,b) come hai detto tu prima.

[mathias.jag]

E bravo euler....
la cosa che hai detto te ora è quella che ho visto io sul foglio, ma non sapevo come dirla in maniera formale (tendo sempre a trasformare tutto in geometria analitica quando è piana)...

[Nonno Bassotto]

io sono fermamente contro la dimostrazione per induzione

temo che allora avrai vita dura...