Avete presente il teoremino che dice che le diagonali di un parallelogramma si incontrano nel loro punto medio?
<BR>1)No----> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> Bè guardatevelo e poi rileggete la domanda...e già che ci siete vergognatevi un po\'...
<BR>2)Si----->Dimostratelo non con la classica geometria euclidea* (se no non erano certo minuti, ma secondi), ma usando i vettori.
<BR>3)Si ed avete proprio tempo da perdere---->già che ci siete potreste provare con la geometria analitica e quanti più metodi conoscete, qui però non garantisco...
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<BR>*con questo voglio dire semplicemente di non usare quella dimostrazione che trovereste su un libro di geometria delle superiori, e non che dovete inevce ricorrere a geometrie riemanniane ed affini...ops...vabbè avete capito....
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<BR>P.S. Chiedo scusa a pennywise per non aver usato un forum già aperto per un problema sì volgare e faccio mea culpa per aver postato cose molto inutili
few minutes problem
Moderatore: tutor
Cosa avrai poi contro la geometria euclidea...
<BR>I vertici di un parallelogramma giacciono su due rette che supporremo non // all\'asse y (il caso particolare studiatelo tu!)<IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">1) y=mx+q e (2) y=mx+p. Essi avranno ascisse a,b,c,d e supporremo che (3)a-d=b-c e tali differenze siano entrambe maggiori di 0. Prenderemo i punti A e B di ascisse a e b su (1) e i puni C e D di ascisse c e d su (2). Ovviamente se a>b anche d>c, o identicamente con il verso opposto.
<BR>Il punto medio di AC sia E e di BD sia F: x_E=(a+c)/2; x_F=(d+b)/2 e pertanto x_E=x_F per la (3). Inoltre y_E=(m(a+c)+q+p)/2 e x_F=(m(b+d)+p+q)/2 anch\'essi uguali per la (3). Quindi i punti medii delle diagonali coincidono. QED
<BR>I vertici di un parallelogramma giacciono su due rette che supporremo non // all\'asse y (il caso particolare studiatelo tu!)<IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">1) y=mx+q e (2) y=mx+p. Essi avranno ascisse a,b,c,d e supporremo che (3)a-d=b-c e tali differenze siano entrambe maggiori di 0. Prenderemo i punti A e B di ascisse a e b su (1) e i puni C e D di ascisse c e d su (2). Ovviamente se a>b anche d>c, o identicamente con il verso opposto.
<BR>Il punto medio di AC sia E e di BD sia F: x_E=(a+c)/2; x_F=(d+b)/2 e pertanto x_E=x_F per la (3). Inoltre y_E=(m(a+c)+q+p)/2 e x_F=(m(b+d)+p+q)/2 anch\'essi uguali per la (3). Quindi i punti medii delle diagonali coincidono. QED
Non ho niente contro la geometria euclidea, solo che in questo caso la dimostrazione, per difficoltà pari a quelle ottenute con altri metodi , mi sembrava più una cosa di cultura generale che un problema da risolvere ragionando...
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<BR>Per quanto riguarda la dimostrazione con la geometria analitica io avevo iniziato studiando proprio il caso particolare del parallelogramma i cui vertici giacciono su due rette parallele all\'asse x (anzi una retta era proprio l\'asse x) ed inoltre un vertice coincide con l\'origine degli assi.
<BR>Poi, per generalizzare, me la cavavo dicendo che si poteva sempre applicare una rotazione e-o una traslazione per ricondurre qualsiasi parallelogramma del piano al caso studiato, e a questo punto dicevo anche qualcosa come:\"e il caso più generale studiatelo tu!\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>Giusto anche così?
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<BR>Per quanto riguarda la dimostrazione con la geometria analitica io avevo iniziato studiando proprio il caso particolare del parallelogramma i cui vertici giacciono su due rette parallele all\'asse x (anzi una retta era proprio l\'asse x) ed inoltre un vertice coincide con l\'origine degli assi.
<BR>Poi, per generalizzare, me la cavavo dicendo che si poteva sempre applicare una rotazione e-o una traslazione per ricondurre qualsiasi parallelogramma del piano al caso studiato, e a questo punto dicevo anche qualcosa come:\"e il caso più generale studiatelo tu!\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>Giusto anche così?
Se vogliamo proprio barare, studiamo il tutto per un quadrato di lato 1 e poi applichiamo non solo le trasformazioni rigide, ma anche le omotetie e le proiezioni, ottenendo la generalizzazione per i parallelogrammi. Basta evidenziare che vengono rispettate certe condizioni per cui la proprietà richiesta è invariante rispetto a tutte queste trasformazioni...