tangenti ad una ellisse
tangenti ad una ellisse
non riesco a risolvere questo problema con metodi di geometria euclidea o analitica: "data una circonferenza di equazione x^2+y^2=a^2+b^2, da un suo punto conduci le tangenti ad una ellisse di equazione x^2/a^2+y^2/b^2=1. dimostrare che esse sono perpendicolari
E' probabile che esista una soluzione sintetica ( eventualmente di natura proiettiva)
ma non sono riuscito a trovare niente di concreto .Ripiego quindi sulla soluzione
analitica che è moderatamente... contosa.
Sia dunque P(u,v) il generico punto della circonferenza con :
(1) $ \displaystyle u^2+v^2=a^2+b^2 $
La retta generica per P ha equazione :
$ \displaystyle y=m(x-u)+v $
e le sue intersezioni con l'ellisse si ottengono dal sistema:
$ \displaystyle \begin{cases}b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\\y=m(x-u)+v\\\end{cases} $
Eliminando la y si ha l'equazione:
$ \displaystyle (b^2+a^2m^2)x^2-2a^2m(mu-v)x+a^2[(mu-v)^2-b^2]=0 $
Annullando il delta di quest'ultima equazione si ha l'equazione in m :
$ \displaystyle b^2(a^2-u^2)m^2+2(b^2uv)m+b^2(b^2-v^2)=0 $
Il prodotto delle radici di essa è dato da :
$ \displaystyle m_1m_2=\frac{b^2-v^2}{a^2-u^2} $
e per la (1):
$ \displaystyle m_1m_2=\frac{b^2-v^2}{a^2-a^2-b^2+v^2}=-1 $
Ciò prova che le tangenti condotte da P all'ellisse sono perpendicolari.
ma non sono riuscito a trovare niente di concreto .Ripiego quindi sulla soluzione
analitica che è moderatamente... contosa.
Sia dunque P(u,v) il generico punto della circonferenza con :
(1) $ \displaystyle u^2+v^2=a^2+b^2 $
La retta generica per P ha equazione :
$ \displaystyle y=m(x-u)+v $
e le sue intersezioni con l'ellisse si ottengono dal sistema:
$ \displaystyle \begin{cases}b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\\y=m(x-u)+v\\\end{cases} $
Eliminando la y si ha l'equazione:
$ \displaystyle (b^2+a^2m^2)x^2-2a^2m(mu-v)x+a^2[(mu-v)^2-b^2]=0 $
Annullando il delta di quest'ultima equazione si ha l'equazione in m :
$ \displaystyle b^2(a^2-u^2)m^2+2(b^2uv)m+b^2(b^2-v^2)=0 $
Il prodotto delle radici di essa è dato da :
$ \displaystyle m_1m_2=\frac{b^2-v^2}{a^2-u^2} $
e per la (1):
$ \displaystyle m_1m_2=\frac{b^2-v^2}{a^2-a^2-b^2+v^2}=-1 $
Ciò prova che le tangenti condotte da P all'ellisse sono perpendicolari.