Trovare tutte le soluzioni reali dell'Eq. :
$ cos^2 (x) + cos^2 (2x) + cos^2( 3x) = 1 $
Io l'ho risolto, ma la mia soluzine è piuttosto lunga e macchinosa nonchè priva di "idee", se vi interessa ve la posto, nessuno ha soluzioni più carine e eleganti?
IMO 1962 N° 4
IMO 1962 N° 4
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Io avrei usato l'identità $ \displaystyle \cos^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{2} $, in modo che l'equazione diventa:
$ \displaystyle (\cos2x+\cos4x )+(\cos6x+1)=0 $
Ed applicando le prostaferesi:
$ \displaystyle \cos3x \cos x+\cos3x\cos3x=0 $
Ovvero:
$ \displaystyle \cos3x (\cos3x+\cos x)=0 $
Ed applicando ancora le prostaferesi:
$ \displaystyle \cos x \cos2x \cos3x=0 $
Le soluzioni sono ;
$ \displaystyle x_1=2k_1\pi \pm \frac{\pi}{2}, x_2=k_2\pi \pm \frac{\pi}{4},x_3=\frac{2}{3}k_3 \pi \pm \frac{\pi}{6} , \text { con }k_1,k_2,k_3 \in Z $
$ \displaystyle (\cos2x+\cos4x )+(\cos6x+1)=0 $
Ed applicando le prostaferesi:
$ \displaystyle \cos3x \cos x+\cos3x\cos3x=0 $
Ovvero:
$ \displaystyle \cos3x (\cos3x+\cos x)=0 $
Ed applicando ancora le prostaferesi:
$ \displaystyle \cos x \cos2x \cos3x=0 $
Le soluzioni sono ;
$ \displaystyle x_1=2k_1\pi \pm \frac{\pi}{2}, x_2=k_2\pi \pm \frac{\pi}{4},x_3=\frac{2}{3}k_3 \pi \pm \frac{\pi}{6} , \text { con }k_1,k_2,k_3 \in Z $
sì dovrebbe tornare, mi sono accorto che io avevo omesso qualche soluzione 
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.