Punizione all'alunno cattivo
Punizione all'alunno cattivo
Un alunno indisciplinato deve scrivere una lunga successione alla lavagna, partendo dal numero 2008 (passaggio 1), poi ogni volta deve scrivere la somma dei numeri precedenti + il numero di numeri scritti, e quando arriva al 2008-esimo (n) deve tornare dal professore e dirgli tutti i numeri primi che dividono n+1. Cosa gli dirà per risparmiare di scrivere tutti i numeri alla lavagna?
cogito ergo demonstro
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stefano9llo
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- Località: Passons
Innanzitutto chiamiamo $ a_{i} $ gli elementi della nostra successione, abbiamo:
$ a_{1}=2008=2008+0 \newline a_{2}=2008+1 \newline a_{3}=2008*2+1+2=2008*2+3 \newline a_{4}=2008*4+1+3+3=2008*4+7 \newline a_{5}=2008*8+1+3+7+4=2008*4+15 \newline $
Cerchiamo ora di capire come è fatto un generico $ a_{i} $; abbiamo che per come ha impostato la successione il nostro caro professore:
$ a_{i}=a_{i-1}+...+a_{2}+a_{1} $
Il termine $ a_{i} $ sarà dunque della forma $ a_{i}=2008*2^{i-2}+ 2^{i-1}-1 $. Questo perché è vero nei primi termini della succesisone e perché vale $ 2^n=\sum_{j=0}^{n}{2^j}+1 $. Infatti il coefficiente che moltiplica 2008 sarà la somma dei coefficienti dei termini precedenti, che dunque corrisponderà alla potenza di 2 successiva a quella dell'ultimo termine della successione, per quanto riguarda il "termine noto", faccio notare che saranno tutte potenze di due diminuite di 1, in quanto:
$ 2^n-n-1=\sum_{j=0}^{n}{2^j} $
Ma io sommo al termine corrispondente della successione $ n $, che corrisponde al numero di termini precedenti della successione e dunque rimane solo $ 2^{n}-1 $. A questo punto sappiamo che:
$ a_{2008}=2008*2^{2008-2}+2^{2008-1}-1 \newline a_{2008}+1=1004*2^{2007}+2^{2007}=2^{2007}*(1004+1)=2^{2007}*(1005)=2^{2007}*3*5*67 $
$ a_{1}=2008=2008+0 \newline a_{2}=2008+1 \newline a_{3}=2008*2+1+2=2008*2+3 \newline a_{4}=2008*4+1+3+3=2008*4+7 \newline a_{5}=2008*8+1+3+7+4=2008*4+15 \newline $
Cerchiamo ora di capire come è fatto un generico $ a_{i} $; abbiamo che per come ha impostato la successione il nostro caro professore:
$ a_{i}=a_{i-1}+...+a_{2}+a_{1} $
Il termine $ a_{i} $ sarà dunque della forma $ a_{i}=2008*2^{i-2}+ 2^{i-1}-1 $. Questo perché è vero nei primi termini della succesisone e perché vale $ 2^n=\sum_{j=0}^{n}{2^j}+1 $. Infatti il coefficiente che moltiplica 2008 sarà la somma dei coefficienti dei termini precedenti, che dunque corrisponderà alla potenza di 2 successiva a quella dell'ultimo termine della successione, per quanto riguarda il "termine noto", faccio notare che saranno tutte potenze di due diminuite di 1, in quanto:
$ 2^n-n-1=\sum_{j=0}^{n}{2^j} $
Ma io sommo al termine corrispondente della successione $ n $, che corrisponde al numero di termini precedenti della successione e dunque rimane solo $ 2^{n}-1 $. A questo punto sappiamo che:
$ a_{2008}=2008*2^{2008-2}+2^{2008-1}-1 \newline a_{2008}+1=1004*2^{2007}+2^{2007}=2^{2007}*(1004+1)=2^{2007}*(1005)=2^{2007}*3*5*67 $
