x^{4x}=1

[gibo92]

Determinare le soluzioni dell'equazione $ x^{4x}=1 $ per x qualunque (anke complesso se capita)

[amatrix92]

prima soluzione x=1

[gibo92]

è l'unica? se lo è va dimostrato

[SkZ]

e temo unica
se x>1 $ $(x^4)^x>1 $
per $ $x=a+ib=r e^{i\alpha} $ abbiamo $ $e^{4a\ln{r}-4b\alpha}e^{i(4b\ln{r}+4a\alpha)} $
con $ ~a=r\cos{\alpha}\quad b=r\sin{\alpha} $, ergo
$ ~4b\ln{r}+4a\alpha=4r(\sin{\alpha}\ln{r}+\alpha \cos{\alpha})=0 $
$ ~4a\ln{r}-4b\alpha=4r(\cos{\alpha}\ln{r}-\alpha\sin{\alpha})=0 $

forse (mica guardato), il "problema" sta nella periodicita' del seno

edit:
$ \ln{r}=\alpha\tan{\alpha}=-\alpha(\tan{\alpha})^{-1} $ se $ ~\alpha\neq k\pi $
impossibile, ergo $ ~\alpha=k\pi $, ergo...

[gibo92]

e temo unica
se x>1 $ $(x^4)^x>1 $
per $ $x=a+ib=r e^{i\alpha} $ abbiamo $ $e^{4a\ln{r}-4b\alpha}e^{i(4b\ln{r}+4a\alpha)} $
con $ ~a=r\cos{\alpha}\quad b=r\sin{\alpha} $, ergo
$ ~4b\ln{r}+4a\alpha=4r(\sin{\alpha}\ln{r}+\alpha \cos{\alpha})=0 $
$ ~4a\ln{r}-4b\alpha=4r(\cos{\alpha}\ln{r}-\alpha\sin{\alpha})=0 $

forse (mica guardato), il "problema" sta nella periodicita' del seno

edit:
$ \ln{r}=\alpha\tan{\alpha}=-\alpha(\tan{\alpha})^{-1} $ se $ ~\alpha\neqk\pi $
impossibile, ergo $ ~\alpha=k\pi $, ergo...

uff non comprendo la tua soluzione... cosa significa quell'"ln" ke metti ogni tanto?

[Sonner]

Anche -1 soddisfa , poi per curiosità l'ho buttata dentro wolfram alpha e mi dà parecchie soluzioni (anche se non riesco quasi a capirle :S ), è possibile?

[gibo92]

Non basta dire:

$ x^{4x}=k $
x>1 allora k>1
x=1 ok
0<x<1 allora k<1
x=0 no
-1<x<0>1
x=-1 ok
x<-1 allora k<1

se qualcuno riesce a rispondermi mi farebbe un grande piacere, è un compito ke ho x domani...

[amatrix92]

Non basta dire:

$ x^{4x}=k $
x>1 allora k>1
x=1 ok
0<x<1 allora k<1
x=0 no
-1<x<0>1
x=-1 ok
x<-1 allora k<1

se qualcuno riesce a rispondermi mi farebbe un grande piacere, è un compito ke ho x domani...

con quel ragionamento hai dimostrato che non ci sono più soluzioni reali, le altre (infinite) sono complesse.

[gibo92]

proprio cm pensavo... uff...

[SkZ]

e temo unica
se x>1 $ $(x^4)^x>1 $
per $ $x=a+ib=r e^{i\alpha} $ abbiamo $ $e^{4a\ln{r}-4b\alpha}e^{i(4b\ln{r}+4a\alpha)} $
con $ ~a=r\cos{\alpha}\quad b=r\sin{\alpha} $, ergo
$ ~4b\ln{r}+4a\alpha=4r(\sin{\alpha}\ln{r}+\alpha \cos{\alpha})=0 $
$ ~4a\ln{r}-4b\alpha=4r(\cos{\alpha}\ln{r}-\alpha\sin{\alpha})=0 $

forse (mica guardato), il "problema" sta nella periodicita' del seno

edit:
$ \ln{r}=\alpha\tan{\alpha}=-\alpha(\tan{\alpha})^{-1} $ se $ ~\alpha\neq k\pi $
impossibile, ergo $ ~\alpha=k\pi $, ergo...

uff non comprendo la tua soluzione... cosa significa quell'"ln" ke metti ogni tanto?

scusa, ma stai scherzando o sei serio?
logaritmo naturale.
in vari ambiti di programmazione si usa log, ma in matematica log e' il logaritmo in base 10 e ln quello naturale. $ ~\LaTeX $ e' appoggiato dall'AMS (America Mathematics Society) ergo non penso usi nomi astrusi

[SkZ]

ecco dove sta l'errore
posto $ ~k\in\mathbb{Z} $

se x>1 $ $(x^4)^x>1 $
per $ $x=a+ib=r e^{i\alpha} $ abbiamo $ $e^{4a\ln{r}-4b\alpha}e^{i(4b\ln{r}+4a\alpha)} $
con $ ~a=r\cos{\alpha}\quad b=r\sin{\alpha} $, ergo
$ ~4b\ln{r}+4a\alpha=4r(\sin{\alpha}\ln{r}+\alpha \cos{\alpha})=2k\pi $
$ ~4a\ln{r}-4b\alpha=4r(\cos{\alpha}\ln{r}-\alpha\sin{\alpha})=0 $

$ $\ln{r}=\alpha\tan{\alpha} $ se x non puramente immaginario (e si vede facilmente che non puo' esserlo)
quindi $ $e^{\alpha\tan{\alpha}}\alpha(\sin{\alpha}\tan{\alpha}+\cos{\alpha})=k\frac{\pi}{2} $

se $ ~\alpha=l\pi,\;l\in\mathbb{Z} $, allora $ $k=(-1)^l{2l} $, quindi sempre soluzione

[fph]

in matematica log e' il logaritmo in base 10 e ln quello naturale.

Ognuno ha la sua notazione, ma negli ambienti che frequento io $ \log $ è il logaritmo naturale, $ \log_2 $ è il logaritmo in base 2, che si usa molto raramente, e il logaritmo in base 10 è una cosa buffa che nessuno usa.

[SkZ]

in effetti il logaritmo e' nato "naturale" (sembra da quello che ho letto).
speravo che fosse almeno un po' piu' standardizzato. Ma considerato il prodotto interno ed esterno....
ora che ci penso, penso di aver gia' fatto questa "gaffe"

onestamente per il logaritmo decimale, se si usa poco, non sarebbe meglio $ ~\log_{10} $?
ma uso solo ingegneristico?