il triangolo e le sue mediane

[FeddyStra]

L'ordine è quello ovvio, ora però ho corretto la tesi...

[mod_2]

Come mi ha fatto notare FeddyStra l'altro giorno, è carino anche dimostrare che effettivamente con le tre mediane si può formare un triangolo, qualcuno vuole provare?

[jordan]

Molto recentemente, qui

[mod_2]

Ops, la prossima volta farò più attenzione

[spugna]

non ho letto tutte le risposte e non so se qualcuno l'ha già scritto,comunque è possibile costruire $ T_2 $ in modo che i suoi lati risultino simultaneamente non solo congruenti,ma anche paralleli alle mediane di $ T_1 $. La cosa sorprendente è che funziona con qualsiasi triangolo!!!

[gibo92]

ma quindi come si risolve il problema?

[ngshya]

Quale?

[spugna]

ma quindi come si risolve il problema?

La mia soluzione è questa (spero di riuscirmi a spiegare xk non riesco a postare l'immagine):

Detti $ A,B,C $ i vertici di $ T_1 $, siano $ X,Y,Z $ rispettivamente i punti medi dei lati opposti. Costruito il parallelogramma $ PBZC $, si noti che $ AXPY $ risulta anch'esso un parallelogramma. Da questa costruzione segue $ PB \cong CZ $ e $ PY \cong AX $. Deduciamo immediatamente che $ T_2 $ è proprio il triangolo $ BPY $ (che tra l'altro è costruito su una mediana di $ T_1 $). Ora definiamo $ Q=PY \cap BC $ e osserviamo che, essendo $ PY $ e $ AX $ paralleli, i triangoli $ ACX $ e $ CQY $ risultano simili e con un rapporto di similitudine pari a 2 ($ AC/CY=2 $).
Ne consegue che:
- $ AX=2QY \Rightarrow $ $ Q $ è il punto medio di $ PY \Rightarrow $ $ PBQ $ e $ BQY $ sono equivalenti. (1)
- $ CQ=CX/2=BC/4 \Rightarrow $ $ BQ=3CQ \Rightarrow $ l'area di $ BQY $ è il triplo di quella di $ CQY $. (2)

Ora chiamiamo $ S $ l'area di $ T_1 $. Dato che una mediana divide un triangolo in due parti equivalenti, avremo $ A(BCY)=S/2 $. Riprendendo la (2) si trova $ A(BQY)=3S/8 $. Ora, per la (1), abbiamo $ A(T_2)=2 \cdot A(BQY)=2 \cdot 3S/8=3S/4 $. C.V.D.