a)Mostrare che $ 3^{4^5}+4^{5^6} $ è il prodotto il due interi positivi maggiori di $ 10^{2009} $. (Costa Rica Math Olympiad 2009)
b) Mostrare che $ 3^{2009}+4^{2009} $ è il prodotto il due interi positivi maggiori di $ 2009^{182} $. (Indiam Mathematical Olympiad 2009)
xy=3^4^5+4^5^6
xy=3^4^5+4^5^6
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: xy=3^4^5+4^5^6
Conti:jordan ha scritto:a)Mostrare che $ 3^{4^5}+4^{5^6} $ è il prodotto il due interi positivi maggiori di $ 10^{2009} $. (Costa Rica Math Olympiad 2009)
$ $3^{4^5}+4^{5^6}=3^{1024}+4^{15625}$ $.
Sophie Germain:
$ $3^{1024}+4 \cdot 4^{15624}=(3^{512}+2^{15625}+2^{7814} \cdot 3^{256})(3^{512}+2^{15625}-2^{7814} \cdot 3^{256})$ $
Disuguaglianze:
$ $(3^{512}+2^{15625}+2^{7814} \cdot 3^{256})>(3^{512}+2^{15625}-2^{7814} \cdot 3^{256}) \approx (2^{7813}-3^{256})^2>(2^{7810}-3^{258})^2= \left [ (2^{10})^{781}-(3^3)^{86} \right ]^2 > \left [ (10^3)^{781}-10^{86} \right ]^2 > 10^{2009}$ $
L'ultima maggioranza è di molte cifre in più, ciò compensa l'approssimazione fatta in precedenza.
Da cui la tesi.
Spero di non aver sbagliato i conti.
Re: xy=3^4^5+4^5^6
Scusa jordan, sei sicuro che il testo sia quello giusto? Perché se l'esponente di 3 fosse 2008, la soluzione mi verrebbe bellissima...jordan ha scritto:b) Mostrare che $ 3^{2009}+4^{2009} $ è il prodotto il due interi positivi maggiori di $ 2009^{182} $. (Indiam Mathematical Olympiad 2009)