La radice di 2 numero irrazionale?

[Masha97]

Salve a tutti, volevo chiedervi: com'e' possibile che la radice di 2 sia un numero irrazionale? Mi sembra strano che non esiste un numero che moltiplicato per se stesso fa 2. Mi spiegate il motivo del perche' e' irrazionale?

[Zorro_93]

Se ci fosse un numero razionale che moltiplicato per se stesso fa 2 potresti ricavare questo: $ $\left(\frac{m}{n}\right)^2=2$ $, cioè $ $m^2=2n^2$ $, ma un quadrato contiene un numero pari di volte il fattore 2 nella sua scomposizione, e l'ultima relazione ci dice che un numero che lo contiene un numero pari di volte è uguale a uno che lo contiene un numero dispari, questo è l'assurdo.

Il fatto è che un numero che al quadrato da 2 esiste, è stato "creato" apposta ed è appunto $ $\sqrt2$ $. Lo stesso è accaduto con la divisione: non sempre la relazione $ a=bn $ con a e b interi è soddisfatta per n intero, e perciò hanno "creato" i numeri razionali.
Io con le mie povere conoscenze non posso andare oltre, ma credo che una lettura dei primi capitoli di "Che cos'è la matematica?" di Courant e Robbins ti potrebbe chiarire di molto le idee

Ciao!

[Nonno Bassotto]

Attenzione: ogni volta che è stata introdotta una nuova classe di numeri, le è stato assegnato un aggettivo dispregiativo: numeri negativi, irrazionali, immaginari... Ma questo non vuol dire che questi numeri non esistano (o meglio, esistono tanto quanto "esiste" il numero 1371).

Nel tuo caso il fatto che $ \sqrt{2} $ sia irrazionale significa solamente che non è una frazione, come ti fa vedere Zorro.

[Euler]

C'è un' altra dimostrazione, quella di Euclide:
se $ \sqrt{2} $ è razionale è dato da una frazione m/n. Quindi $ m=n\sqrt{2} $--->$ m^2=2n^2 $, ma m a questo punto deve essere pari, allora poniamo m=2p e l'equazione diventa $ 4p^2=2n^2 $--->$ 2p^2=n^2 $; allo stesso modo n è pari, quindi poniamo n=2q e $ 2p^2=4q^2 $--->$ p^2=2q^2 $ e ritorniamo a $ \sqrt{2}=\frac{p}{q} $, con p e q interi positivi. Siamo però ritornati al punto di partenza, dunque significa che possiamo semplificare la frazione all'infinito, che va contro una delle regole fondamentali delle frazioni, allora per la discesa infinita è impossibile.
Q.E.D.

[Spammowarrior]

credo che ad essere precisi, tra le ipotesi di euclide ci fosse che m/n è ai minimi termini: (m,n)=1
e giunge all'assurdo con il fatto che sono entrambi pari (non so sinceramente se fosse già usato allora il principio di discesa infinita...)

[Nonno Bassotto]

Piccolo commento. Le tre dimostrazioni che avete dato sembrano perfettamente equivalenti. In effetti le ultime due lo sono, ma quella di Zorro richiede qualcosa di più.

In effetti la dimostrazione di Zorro usa l'unicità della fattorizzazione di un numero in primi (oddio, in effetti un caso facile), che è meno banale di quanto sembri e prima vista. Chi non ha visto una dimostrazione di questo fatto, può provare a dimostrarlo, è un bell'esercizio (non tanto facile) anche se bisogna stare attenti a quali proprietà dei numeri interi si assumono.

[Spammowarrior]

Piccolo commento. Le tre dimostrazioni che avete dato sembrano perfettamente equivalenti. In effetti le ultime due lo sono, ma quella di Zorro richiede qualcosa di più.

In effetti la dimostrazione di Zorro usa l'unicità della fattorizzazione di un numero in primi (oddio, in effetti un caso facile), che è meno banale di quanto sembri e prima vista. Chi non ha visto una dimostrazione di questo fatto, può provare a dimostrarlo, è un bell'esercizio (non tanto facile) anche se bisogna stare attenti a quali proprietà dei numeri interi si assumono.

so che la mia e quella di eulero sono dimostrazioni equivalenti, la mia era solo una precisazione storica: il principio di discesa infinita è stato usato per la prima volta da fermat, ben dopo euclide

[Euler]

Piccolo commento. Le tre dimostrazioni che avete dato sembrano perfettamente equivalenti. In effetti le ultime due lo sono, ma quella di Zorro richiede qualcosa di più.

In effetti la dimostrazione di Zorro usa l'unicità della fattorizzazione di un numero in primi (oddio, in effetti un caso facile), che è meno banale di quanto sembri e prima vista. Chi non ha visto una dimostrazione di questo fatto, può provare a dimostrarlo, è un bell'esercizio (non tanto facile) anche se bisogna stare attenti a quali proprietà dei numeri interi si assumono.

so che la mia e quella di eulero sono dimostrazioni equivalenti, la mia era solo una precisazione storica: il principio di discesa infinita è stato usato per la prima volta da fermat, ben dopo euclide

In effetti non me la ricordavo bene e ci ho dato del mio