Teorema o problema?

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

Siano dati tre triangoli rettangoli simili. Siano r’, r’’, r’’’, i raggi delle tre circonferenze ad essi inscritti. Dimostrare che r’/r’’=r’’/r’’’. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: massiminozippy il 31-03-2003 09:02 ]

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

r\'=S\'/p\'
 r\'\'=S\'\'/p\'\'
 r\'\'\'=S\'\'\'/p\'\'\'
 
 S è superficie e p semiperimetro.
 
 Per quel che si riesce a capire dal tuo messaggio(... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> ...) mi pare tu voglia dimostrare che r\'/r\'\'=r\'\'/r\'\'\'. Credo ciò sia vero solo se A\'B\'/A\'\'B\'\'=A\'\'B\'\'/A\'\'\'B\'\'\'.
 Poichè S\'/S\'\'=(A\'B\'/A\'\'B\'\')^2=h (S\'/p\')=h*(S\'\'/p\'\') e identicamente poichè S\'\'/S\'\'\'=(A\'\'B\'\'/A\'\'\'B\'\'\')^2=(A\'B\'/A\'\'B\'\')^2=h (S\'\'/p\'\')=h*(S\'\'\'/p\'\'\'). Quindi i due rapporti sono entrambi h.
 
 E\' questo che volevi?
 
 btw: non vale solo per i triangoli rettangoli. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

Io volevo sapere se era vero che dati tre triangoli rettangoli simili e date tre circonferenze inscritte in questi triangoli, valeva la seguente proporzione:
 r\':r\'\'=r\'\':r\'\'\'.
 Da quanto ho capito questa è vera se e solo se per il lati dei triangoli vale A\'B\'/A\'\'B\'\'=A\'\'B\'\'/A\'\'\'B\'\'\'.
 Quindi se i lati sono nella seguente proporzione,
 A\'B\':A\'\'B\'\'=B\'C\':B\'\'C\'\'=A\'\'\'B\'\'\':B\'\'\'C\'\'\', la tesi non è verificabile???
 
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Innanzi tutto credo che tu abbia sbagliato a scrivere l\'ultima proporzione: così non sono tre simili!
 Per quel che riguarda il problema, il succo è questo: dati due triangoli simili, di lati a,b,c e a\',b\',c\' siano r e r\' i raggi dei cerchi inscritti, allora r/r\' = a/a\' = b/b\' = c/c\'. Per tre triangoli devi verificare che gli apici siano nei posti giusti, ad es: a/a\'=a\'/a\'\' allora r/r\'=r\'/r\'\' oppure a/a\'=a\'\'/a\' allora r/r\'=r\'\'/r\'.
 
 Capito? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-03-31 14:55, EvaristeG wrote:
 Innanzi tutto credo che tu abbia sbagliato a scrivere l\'ultima proporzione: così non sono tre simili!
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Quale sarebbe quella giusta?
 Per il resto tutto ok.

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Dire che A\'B\':A\'\'B\'\'=B\'C\':B\'\'C\'\' equivale a dire che il primo triangolo e il secondo sono simili. Ma aggiungere =A\'\'\'B\'\'\':B\'\'\'C\'\'\' non ha gran senso, in quanto sono elementi di uno stesso triangolo, mentre nei due altri rapporti tu hai usato elementi di triangoli diversi. In generale tre triangoli sono simili se valgono:
 (1) A\'B\':B\'C\'=A\'\'B\'\':B\'\'C\'\' (o altra equivalente, ce n\'è 12 credo)
 (2) A\'\'B\'\':B\'\'C\'\'=A\'\'\'B\'\'\':B\'\'\'C\'\'\' (idem)
 (3)A\'B\':B\'C\'=A\'\'\'B\'\'\':B\'\'\'C\'\'\' (idem)
 per qualunque coppia di lati omologhi nei tre triangoli o di elementi lineari delle tre figure (raggi, altezze, mediane, etc.).
 Nel tuo caso si richiederebbe che non solo valgano le tre dette, ma che anche valga la proporzione multipla
 A\'B\':B\'C\'=A\'\'B\'\':B\'\'C\'\'=A\'\'\'B\'\'\':B\'\'\'C\'\'\'
 o altra equivalente. Ovvero sia dobbiamo poter ordinare le tre figurein modo che la seconda sia omotetia della prima con un fattore k e la terza sia omotetia della seconda con lo stesso fattore.
 Comunque, visto che non credo che questo problema ti sia venuto in mente così a caso, forse se spieghi da dove arriva si potrebbe riuscire a trovare una soluzione!
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> Io non potrò aiutarti perchè vado in gita domani, ma forse qualche altro volenteroso...

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

Facevo il problema numero 149 (sezione geometria piana) sul libro delle olimpiadi. L\'ho risolto bene, è molto a culo, servendomi di questa proprietà dei triangoli, e volevo sapere se essa esisteva o meno.
 
 \"Nel tuo caso si richiederebbe che non solo valgano le tre dette, ma che anche valga la proporzione multipla A\'B\':B\'C\'=A\'\'B\'\':B\'\'C\'\'=A\'\'\'B\'\'\':B\'\'\'C\'\'\'
 o altra equivalente\"
 
 Era proprio questa la proporzione che volevo scrivere. In questo periodo sono un po frastornato, ho un sacco di problemi.

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Don\'t care!
 Sono io che sono pignolo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">