Teoremino Utile...

[XT]

Ecco un teoremino utile di cui sto cercando una dimostrazione euclidea, quindi mi rivolgo a voi per trovare aiuto...
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<BR>\"Preso un punto interno ad un triangolo equilatero, l\'altezza del triangolo è congruente alla somma dei tre segmenti perpendicolari condotti dal punto ai lati\"
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<BR>Grazie <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">

[piccolaindiana]

triangolo equilatero ABC -> AB=BC=CA= l
<BR>punto interno P
<BR>segmenti perpendicolari ai lati: PM, PN, PQ.
<BR> Area(ABC)= Area(APC)+Area(APB)+Area(BPC)
<BR>l*h/2= l*PM/2 + l*PN/2 + l*PQ/2
<BR>l/2 * h= l/2 (PM+PN+PQ) ----> h=PM+PN+PQ
<BR>
<BR>

[Quarcky]

Non è proprio euclidea quindi non picchiatemi, ma se può aiutare… ecco qua:
<BR>Dato un triangolo equilatero ABC, chiamando con P un punto interno ad esso, e con D1, D2 e D3 rispettivamente i punti da cui si conducono le perpendicolari rispetto ai lati AB, BC e CA fino a P, si ha che l’area di ABC si può scomporre nella somma delle aree dei tre triangoli APC, CPB e BPA.
<BR>L’area dei tre triangoli si può anche esprimere come:
<BR>
<BR>Area APC = AC * D3 / 2
<BR>Area CPB = BC * D2 / 2
<BR>Area BPA = AB * D1 / 2
<BR>
<BR>Che sostituiti nella seguente:
<BR>
<BR>Area ABC = Area APC + Area CPB + Area BPA
<BR>
<BR>Danno:
<BR>
<BR>Area ABC = (AC * D3 / 2) + (BC * D2 / 2) + (AB * D1 / 2)
<BR>
<BR>Essendo tutti e tre i lati uguali per definizione, chiamando con L la loro misura si ha:
<BR>
<BR>Area ABC = (L * D3 / 2) + (L * D2 / 2) + (L * D1 / 2)
<BR>
<BR>Cioè:
<BR>
<BR>Area ABC = L/2 * (D1 + D2 + D3)
<BR>
<BR>Ma l’area di ABC deve essere chiaramente uguale anche a L*h / 2
<BR>
<BR>Quindi uguagliando
<BR>
<BR>L/2 * (D1 + D2 + D3) = L/2 * h
<BR>
<BR>Da cui: D1 + D2 + D3 = h C.V.D.
<BR>
<BR><IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">

[Quarcky]

OH NO!!! ARRIVO TROPPO TARDI! L\'HANNO GIA\' RISOLTO! <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Quarcky il 30-03-2003 19:24 ]

[XT]

Soluzione esatta, anche se ne ho trovata una un po\' più elegante (senza calcoli diciamo), ma decisamente più lunga
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

[Quarcky]

Se non è troppo pesante puoi pubblicarla? Sono curioso!
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<BR>Grazie <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif">

[XT]

Certo Quarcky, la vado a pescare e te la metto sta sera, anche perché adesso non ne ho molta voglia... <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">