3f(x)-2f(f(x))=x

[Gogo Livorno]

Spero non sia già stato postato, provando a cercare non ho trovato nulla

Trovare tutte le funzioni da Z in Z tali che:

3f(x) - 2f(f(x)) = x

per ogni x appartenente a Z.

[Euler]

A prima vista y=x

[Euler]

Non vorrei sparare una cavolata, ma penso sia anche l'unica, perchè la funzione deve essere polinomiale di grado 1 e senza termine noto (altrimenti, se c'è il termine noto, nel secondo termine dell'equazione, essendo intero, diventerà al quadrato e non soddisferà l'equazione). Con queste condizioni ci riduciamo, svolgendo $ 3kx-2k^2x=x $, che è soddisfatta per k=1;1/2, ma non può essere quest'ultimo essendo la funzione Z--->Z.
Penso di non essermi spiegato benissimo, quindi sono pronto a rispondere a qualche domanda

Edit: ovviamente la funzione non può essere costante!

[Maioc92]

e chi ti dice che la funzione sia polinomiale?

[Euler]

e chi ti dice che la funzione sia polinomiale?

Ammetto che sono andato un po' a intuito, perchè mi sembrava non ce ne fossero altre...di algebra sono ancora ad un livello medio-basso, dovrei iniziare a padroneggiarla meglio se voglio avere una cultura matematica completa

[Maioc92]

infatti non volevo certo fartene una colpa, è un errore comune quando si vede per la prima volta un'equazione funzionale (io stesso ci sono cascato).
Comunque diciamo che a intuito non puoi dire nulla in una gara, e che devi cercare un altro modo per dimostrare che l'unica funzione che soddisfa è l'identità (il che è vero).
Se vuoi un esempio di equazione funzionale con una soluzione "strana" ti linko questa che nonno bassotto ha postato qualche giorno fa:
viewtopic.php?t=14785
Se ti interessa una dispensa sulle equazioni funzionali la trovi nel glossario in "Libri e dispense su internet".
Se invece vuoi un suggerimento per questo problema in particolare ti metto in piccolo uno spunto da cui poter partire:
prova a ricavare f^n(x) in relazione ad f(x) e ad x, dove f^n(x) è la funzione applicata n volte (ad esempio f^3(x)=f(f(f(x)))

[EvaristeG]

Nota stilistica: $ y=x $ non è una funzione, è una curva, di solito... la funzione è $ f(x)=x $ (e poi $ y=f(x) $ è la curva grafico di tale funzione). Ovviamente questa è solo una faccenda di notazione...

[Gogo Livorno]

Io avevo un'idea, non so se totalmente imbecille: confutatemela

Sia f(x)=y e f(f(x))=z con y e z interi.

Avremo la diofantea:

3y-2z=x

Ha sempre soluzioni intere in quanto MCD (3,2)=1, ed esse saranno tutte e solo (risolvendo la diofantea coi metodi classici) della forma:

y=x+2k
z=x+3k

Dunque f(x)=x+2k e f(f(x))=x+3k.

Ma f(f(x)) è anche uguale a (x+2k)+2k=x+4k.

Quindi x+3k=x+4k, che implica k=0.

Verifichiamo infatti che f(x)=x soddisfa l'equazione di partenza.

allwrong?

[rargh]

Ciao, la soluzione è bella e chiara, solo che non so come si risolvono le Diofantee. Dove posso trovare una guida, dei post o delle dispense per determinare le soluzione e sapere se sono uniche?


Grazie

[Maioc92]

gogo livorno, l'errore che fai è presupporre che il tuo k sia lo stesso per ogni x...

[Gogo Livorno]

gogo livorno, l'errore che fai è presupporre che il tuo k sia lo stesso per ogni x...

ehm.... e allora?

Mi spiego, se a partire da qualunque x io arrivo a dire che k deve essere 0, penso sia dimostrato che allora sia 0 per tutti gli x... Ricorreggetemi

[Maioc92]

gogo livorno, l'errore che fai è presupporre che il tuo k sia lo stesso per ogni x...

ehm.... e allora?

Mi spiego, se a partire da qualunque x io arrivo a dire che k deve essere 0, penso sia dimostrato che allora sia 0 per tutti gli x... Ricorreggetemi

se veramente dimostrassi questo andrebbe bene, ma sbagli quando dici che f(x+2k)=x+4k. Infatti se k è diverso da 0 allora x+2k è diverso da x e il tuo k a priori potrebbe variare. In pratica è il cane che si morde la coda, perchè per dire quello che dici dovresti già sapere che k è 0

[Gogo Livorno]

gogo livorno, l'errore che fai è presupporre che il tuo k sia lo stesso per ogni x...

ehm.... e allora?

Mi spiego, se a partire da qualunque x io arrivo a dire che k deve essere 0, penso sia dimostrato che allora sia 0 per tutti gli x... Ricorreggetemi

se veramente dimostrassi questo andrebbe bene, ma sbagli quando dici che f(x+2k)=x+4k. Infatti se k è diverso da 0 allora x+2k è diverso da x e il tuo k a priori potrebbe variare. In pratica è il cane che si morde la coda, perchè per dire quello che dici dovresti già sapere che k è 0

Scusa davvero se sono ritardato, però vorrei capire

Se la funzione non fosse mista, andrebbe bene il ragionamento?

[matty96]

So che sono arrivato in ritardo,ma per non aprire un altro topic.........

Dunque,io penso che per la soluzione non ci sia bisogno di ricorrere alla diofantea,bastano alcune manipolazioni algebriche:


$ 3f(x)-2f(f(x)) = x $ può essere scritto nella forma $ 2[f(x)-f(f(x))]=x-f(x) $
$ x-2[f(x)-f(f(x))] = f(x) $

Ora la mia idea è quella di sfruttare la simmetria:

$ f(x) -> x $ e $ x -> f(x) $

cosi' otteniamo:

$ f(x) -2x + 2f(x) = x $ da cui:

$ 3f(x) = 3x x = f(x) $
Perciò anche rimettendo le cose a posto avremo $ f(x) = x $ che è soluzione.

[trugruo]

non mi pare che dimostri che quella sia l'unica