Frazione ai minimi termini
Frazione ai minimi termini
Quante sono le frazioni m/n ridotte ai minimi termini con mn=20! e con 0<m/n<1?
cogito ergo demonstro
wow sono la prima a rispondere!! 
cmq fattorizzo il 20!= $ 2^1^8*3^8*5^4*7^2*11*13*17*19 $
e adesso uso combinatoria per questi 8 fattori che sono tutti primi fra loro.. trovo tutte le possibili combinazioni per il denominatore e numeratore e li divido per 2 nel senso che se a/b>1 sicuramente b/a<1
se abbiamo 1 fattore al numeratore e sette al denominatore
(e non prendo in considerazione il caso contrario) abbiamo 8 casi
se abbiamo 2 fattori al numeratore e sei al denominatore ne abbiamo 28
(e non prendo in considerazione il caso contrario)
se abbiamo 3 fattori al numeratore e 5 al denominatore ne abbiamo 56
(e non prendo in considerazione il caso contrario)
se abbiamo 4 fattori al numeratore e 4 al denominatore ne abbiamo 70, ma poi dobbiamo dividere per 2 quindi ne abbiamo 35
alla fine sommo tutti i casi che ho trovato 8+28+56+35 tenendo presente che anche 1/20! è una buona soluzione. quindi i casi sono 128.
spero sia giusto e scusatemi se non mi sono spiegata tanto bene!!
cmq fattorizzo il 20!= $ 2^1^8*3^8*5^4*7^2*11*13*17*19 $
e adesso uso combinatoria per questi 8 fattori che sono tutti primi fra loro.. trovo tutte le possibili combinazioni per il denominatore e numeratore e li divido per 2 nel senso che se a/b>1 sicuramente b/a<1
se abbiamo 1 fattore al numeratore e sette al denominatore
(e non prendo in considerazione il caso contrario) abbiamo 8 casi
se abbiamo 2 fattori al numeratore e sei al denominatore ne abbiamo 28
(e non prendo in considerazione il caso contrario)
se abbiamo 3 fattori al numeratore e 5 al denominatore ne abbiamo 56
(e non prendo in considerazione il caso contrario)
se abbiamo 4 fattori al numeratore e 4 al denominatore ne abbiamo 70, ma poi dobbiamo dividere per 2 quindi ne abbiamo 35
alla fine sommo tutti i casi che ho trovato 8+28+56+35 tenendo presente che anche 1/20! è una buona soluzione. quindi i casi sono 128.
spero sia giusto e scusatemi se non mi sono spiegata tanto bene!!
Ultima modifica di io.gina93 il 09 mag 2010, 15:15, modificato 1 volta in totale.
Risultato e soluzione giusti, brava, però vorrei provare a farti fare un passetto in più e trovare una soluzione "di secondo livello". In combinatoria, di solito i prodotti (scelgo A in n modi e B in m modi indipendenti, quindi mn) sono "buoni", e le somme (posso essere nel caso A in n modi e nel caso B in m modi, quindi m+n) sono "cattive"; nel senso che se hai una soluzione con 200 prodotti di solito sei in grado di scriverli bene come binomiali/fattoriali e ottenere un'espressione compatta, mentre se hai una soluzione con 200 somme di solito un'espressione buona non si trova e fare i conti diventa proibitivo. Se uno riesce a ridursi a quattro o cinque somme nella soluzione finale dell'esercizio va bene, ma sarà sempre una soluzione "precaria", perché se aumenti i numeri in gioco (es. rimpiazza 20! con 2010!) o se questo problema ti serve come "blocco" di un problema più difficile, allora il numero di somme con cui devi lavorare rischia di esplodere. Inoltre con le somme uno rischia spesso di dimenticarsi dei casi (tipo l'1/20! nel tuo problema).
Quindi è meglio abituarsi a favorire le strade che portano a soluzioni "con meno somme possibili". In questo problema in particolare ce n'è una, e ti invito a trovarla. Dovrebbe aiutarti a intuirla notare che 128 è un numero molto particolare...
Quindi è meglio abituarsi a favorire le strade che portano a soluzioni "con meno somme possibili". In questo problema in particolare ce n'è una, e ti invito a trovarla. Dovrebbe aiutarti a intuirla notare che 128 è un numero molto particolare...
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
ehm..
devo trovarla IO un'altra soluzione di "secondo livello"??
credo che ti stia facendo un'opinione sbagliata su di me..
veramente non ci ho capito tanto e guarda che i numeri delle combinazioni li ho cercati quasi manualmente...
(cerca di capire il mio livello di matematica.. )
cmq poi ho chiesto (per fortuna) ad afullo la formula...
cmq dammi tempo per pensarci..
aspetta... 128=2^7, quindi se i fattori (diversi da uno) sono 8, dovrei elevare 2 alla (8-1)??
p.s.(qui il ragionamento l'ho sparato a caso...)
devo trovarla IO un'altra soluzione di "secondo livello"??
credo che ti stia facendo un'opinione sbagliata su di me..
veramente non ci ho capito tanto e guarda che i numeri delle combinazioni li ho cercati quasi manualmente...
(cerca di capire il mio livello di matematica.. ) cmq poi ho chiesto (per fortuna) ad afullo la formula...
cmq dammi tempo per pensarci..
aspetta... 128=2^7, quindi se i fattori (diversi da uno) sono 8, dovrei elevare 2 alla (8-1)??
p.s.(qui il ragionamento l'ho sparato a caso...)
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Spammowarrior
- Messaggi: 282
- Iscritto il: 23 dic 2009, 17:14
allora, il ragionamento è questo: prendi 2^18 e decidi se metterlo al numeratore o al denominatore. hai due possibilità.
prendi il 3^8 e decidi, altre due possibilità (in tutto 2x2=4)
prendi 5^4, in tutto 8 possibilità e via così, otto volte.
alla fine hai 256 (2^8) possibilità, ma la metà non vanno bene, quindi 128
prendi il 3^8 e decidi, altre due possibilità (in tutto 2x2=4)
prendi 5^4, in tutto 8 possibilità e via così, otto volte.
alla fine hai 256 (2^8) possibilità, ma la metà non vanno bene, quindi 128
???-
Spammowarrior
- Messaggi: 282
- Iscritto il: 23 dic 2009, 17:14
Può essere una cosa del genere?
Noto che 20! ha 8 divisori primi, devo decidere se metterli al numeratore o al denominatore (chiaramente tutti gli stessi primi vanno insieme, altrimenti ci sarebbe una semplificazione e addio 20!). Lo posso fare in $ 2^8 $ modi (il primo lo scelgo in 2 modi, il secondo pure, ..., l'ottavo pure). Ora posso dividere queste frazioni in due categorie simmetriche: per ogni frazione con m>n c'è la stessa con i fattori esattamente scambiati di posto, quindi è sufficiente dividere per 2 per trovare le 128 frazioni che soddisfano.
Noto che 20! ha 8 divisori primi, devo decidere se metterli al numeratore o al denominatore (chiaramente tutti gli stessi primi vanno insieme, altrimenti ci sarebbe una semplificazione e addio 20!). Lo posso fare in $ 2^8 $ modi (il primo lo scelgo in 2 modi, il secondo pure, ..., l'ottavo pure). Ora posso dividere queste frazioni in due categorie simmetriche: per ogni frazione con m>n c'è la stessa con i fattori esattamente scambiati di posto, quindi è sufficiente dividere per 2 per trovare le 128 frazioni che soddisfano.
come fate a scomporre 20! a mano? come fate a dire "vedo che ha 8 divisori primi" ?
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
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Spammowarrior
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- Iscritto il: 23 dic 2009, 17:14
