Diofantea ed esagoni

[Euler]

Ecco un problema della finale che mi è sembrato carino:
Si prenda un triangolo rettangolo, si costruiscano i quadrati sui lati e si congiungano i vertici per formare un esagono. Il triangolo ha cateti interi e l'esagono ha area 1922, determinare l'area del triangolo iniziale

Ovviamente la prima parte è geometrica, ma il resto è teoria dei numeri

[gian92]

bha chissà cosa ho sbagliato mi viene senza soluzione:

allora l'area dell'esagono è, indicando con x,y i cateti e z l'ipotenusa e alfa l'angolo compreso tra x e l'ipotenusa.
$ x^2+y^2+z^2+xy+\frac{sen(\alpha)xz+cos(\alpha)yz}{2}=1922 $
a questo punto ricordiamo che
$ sen(\alpha)=\frac{y}{z} cos{\alpha}=\frac{x}{z} xy=1922-(x^2+y^2+z^2+xy) $
inoltre sappiamo che $ x^2+y^2=z^2 $ quindi
$ 2xy= 1922-2z^2\\ xy=31^2-z^2\\ xy=(31-z)(31+z) $

quindi z è minore di 31
se x e y sono coprimi allora la terna è primitiva, ma quindi avremmo che x+y=62 e non ci sono terne primitive con ipotenusa minore di 31 dove questo sia verificato.
quindi la terna non è primitiva.
allora l'ipotenusa è moltiplicata almeno per 2, dunque le terne primitive dalle quali può derivare la nostra diminuiscono e diventano solamente 2:
3,4,5 e 5,12,13

bhe a questo punto abbiamo diverse terne deputate, che sono la prima moltiplicata per i numeri da 2 a 6 e la seconda moltiplicata per 2.

ad occhio non mi sembra ce ne siano...

dove sbaglio?

[trugruo]

Ho rifatto anch'io tutto il procedimento e mi torna anche a me così
$ 2z^2+2xy=1922 $
$ x^2+y^2+xy=31^2 $
che non ha soluzioni
Dove sbagliamo?

[ndp15]

Non ho controllato il procedimento, ricordo però che un problema della gara a squadra può essere senza soluzione (si indica 0000).

[trugruo]

Ah non lo sapevo,allora penso proprio che la risposta sia 0000
Euler può confermare?

[gian92]

mi sembra strano, non ho mai visto un problema senza soluzioni (vabbè che ne ho fatte 3-4 di gare a squadre )

[ndp15]

mi sembra strano, non ho mai visto un problema senza soluzioni (vabbè che ne ho fatte 3-4 di gare a squadre )

Io neanche una se è per quello!
Ho solo letto il regolamento

[trugruo]

Ho rifatto anch'io tutto il procedimento e mi torna anche a me così
$ x^2+y^2+xy=31^2 $
che non ha soluzioni
Dove sbagliamo?

Sbaglio che sono tutto scemo
La soluzione c'è ed è 11,24 (o 24,11)

Gian92 in quel modo non la trovi perché non è detto che $ z^2 $ sia un quadrato di un intero
infatti il testo dice che x e y devono essere interi,ma z non necessariamente
quindi z viene radice di qualcosa e quindi z^2 = intero che però non è il quadrato di un intero

[gian92]

Ho rifatto anch'io tutto il procedimento e mi torna anche a me così
$ x^2+y^2+xy=31^2 $
che non ha soluzioni
Dove sbagliamo?

Sbaglio che sono tutto scemo
La soluzione c'è ed è 11,24 (o 24,11)

Gian92 in quel modo non la trovi perché non è detto che $ z^2 $ sia un quadrato di un intero
infatti il testo dice che x e y devono essere interi,ma z non necessariamente
quindi z probabilmente viene radice di qualcosa e quindi z^2 = intero che però non è il quadrato di un intero

ahah ecco l'imbroglio

a me era sfuggito che solo i cateti erano interi!

[trugruo]

Sì ma ora è il momento di postare una bella risoluzione della diofantea
$ x^2+y^2+xy=31^2 $

[trugruo]

Allora nessuna buona idea per risolvere questa diofantea in maniera dignitosa?

[gian92]

risolviamo rispetto a x:
$ x=\frac{-y\pm\sqrt{62^2-3y^2}}{2} $
bene ora abbiamo che
$ 62^2-3y^2=k^2 $
per qualche k
$ (62-k)(62+k)=3y^2\\ 3|62-k o 3|62+k\\ k=3k_1+1\\ (61-3k_1)(21+k_1)=y^2\\ $
analizzando modulo 4 abbiamo che per y pari k è dispari.
$ y=2y_1\\ k_1=2k_2+1\\ (58-6k_2)(22+2k_2)=4y_1^2\\ (29-3k_2)(3+k_2)=y_1^2\\ $
quindi abbiamo 9 valori possibili per $ k_2 $
provandoli tutti abbiamo un quadrato perfetto solo per $ k_2=7 $
quindi y=24 e k=46
dunque $ x=\frac{-24+46}{2}=11 $
quindi una soluzione è (x,y)=(11,24)

manca il caso in cui modulo 4 otteniamo che per y dispari k è pari...

la mia non è una maniera dignitosa
p.s. tra l'altro non risolvo niente...però in gara sarebbe bastato

[trugruo]

va bene

[gian92]

te come l'hai fatta?
nello stesso modo, più o meno?

[trugruo]

sì ,però vedo se riesco a trovarne una migliore