abbiamo 144 punti che formano archi congruenti sulla circonferenza, trovare tutti i possibili triangoli di area diversa con i verici su questi punti
ci ha dato parecchi problemi...poi in treno abbiamo scoperto che non era neanche troppo difficile
144 punti sulla circonferenza
144 punti sulla circonferenza
Finale 2010:
abbiamo 144 punti che formano archi congruenti sulla circonferenza, trovare tutti i possibili triangoli di area diversa con i verici su questi punti
ci ha dato parecchi problemi...poi in treno abbiamo scoperto che non era neanche troppo difficile
abbiamo 144 punti che formano archi congruenti sulla circonferenza, trovare tutti i possibili triangoli di area diversa con i verici su questi punti
ci ha dato parecchi problemi...poi in treno abbiamo scoperto che non era neanche troppo difficile
cogito ergo demonstro
secondo i miei calcoli 5112!! =D
(spero sia giusta!!) xD
cmq ho provato a trovare i triangoli di area diversa in un poligono regolare e ho capito che sono (n-2)/2*[(n-2)/2]+1 se n è pari.
Se n è dispari la formula è (n-2)/2+(n-3)/2 * ((n-2)/2+1).
NOTA BENE: quando si ha il quoziente con la virgola si prende il numero per difetto cioè se n=5
la formula è (5-2)/2+(n-3)/2*((5-3)/2+1) =2+1*2
spiegazione:
con un triangolo di base un arco/un lato si hanno n-2 triangoli. Se n-2 è pari bisogna togliere metà triangoli perchè sono simmetrici agli altri e quindi hanno area uguale. Se n-2 è dispari bisogna toglierne la metà (parte intera.. Cioè se n-2=7 la metà è 3.5, io tolgo solo 3 triangoli e ne tengo 4).
Con i triangoli la cui base ha per estremi 2 archi/lati si ha n-3 triangoli e poi come ho spiegato prima bisogna toglierne circa la meta perchè simmetrici... (ricordatevi di prendere solo numeri interi...)
Alla fine noto che i triangoli sono (n-2)/2, (n-3)/2........ (n-(n-1))/2 e noto di avere una doppia somma di numeri :
(n-2)/2; (n-3)/2;(n-4)/2; (n-5)/2; (n-6)/2; (n-7)/2....(n-(n-2));(n-(n-1)).
avrei una doppia serie di numeri che vanno da 1 a (n-2)/2 se n=pari e per questo uso la formula di gauss: (n-2)/2*((n-2)/2+1):2 e poi moltiplico per 2 perchè la serie è doppia..
Se n=dispari ho una doppia serie di numeri che va da 1 a (n-3)/2, uso gauss e aggiungo (n-2)/2
ho una doppia serie di numeri perchè se n-x=pari non ho problemi con (n-x)/2. Se n-x=dispari allora (n-x)/2=(n-(x-1))/2 perchè tengo in considerazione il risultato per difetto.
Per esempio in un decagono avrei questa serie:
4,4,3,3,2,2,1,1
invece in un poligono da 11 lati
5,4,4,3,3,2,2,1,1
p.s. Ieri ho scritto male la serie di numeri!! XD quindi chi l'avesse letto se lo dimentichi!!
Cmq secondo me la soluzione è cosi.. Adesso aspetto qualcuno che lo neghi(probabile... )! XD
(spero sia giusta!!) xD
cmq ho provato a trovare i triangoli di area diversa in un poligono regolare e ho capito che sono (n-2)/2*[(n-2)/2]+1 se n è pari.
Se n è dispari la formula è (n-2)/2+(n-3)/2 * ((n-2)/2+1).
NOTA BENE: quando si ha il quoziente con la virgola si prende il numero per difetto cioè se n=5
la formula è (5-2)/2+(n-3)/2*((5-3)/2+1) =2+1*2
spiegazione:
con un triangolo di base un arco/un lato si hanno n-2 triangoli. Se n-2 è pari bisogna togliere metà triangoli perchè sono simmetrici agli altri e quindi hanno area uguale. Se n-2 è dispari bisogna toglierne la metà (parte intera.. Cioè se n-2=7 la metà è 3.5, io tolgo solo 3 triangoli e ne tengo 4).
Con i triangoli la cui base ha per estremi 2 archi/lati si ha n-3 triangoli e poi come ho spiegato prima bisogna toglierne circa la meta perchè simmetrici... (ricordatevi di prendere solo numeri interi...)
Alla fine noto che i triangoli sono (n-2)/2, (n-3)/2........ (n-(n-1))/2 e noto di avere una doppia somma di numeri :
(n-2)/2; (n-3)/2;(n-4)/2; (n-5)/2; (n-6)/2; (n-7)/2....(n-(n-2));(n-(n-1)).
avrei una doppia serie di numeri che vanno da 1 a (n-2)/2 se n=pari e per questo uso la formula di gauss: (n-2)/2*((n-2)/2+1):2 e poi moltiplico per 2 perchè la serie è doppia..
Se n=dispari ho una doppia serie di numeri che va da 1 a (n-3)/2, uso gauss e aggiungo (n-2)/2
ho una doppia serie di numeri perchè se n-x=pari non ho problemi con (n-x)/2. Se n-x=dispari allora (n-x)/2=(n-(x-1))/2 perchè tengo in considerazione il risultato per difetto.
Per esempio in un decagono avrei questa serie:
4,4,3,3,2,2,1,1
invece in un poligono da 11 lati
5,4,4,3,3,2,2,1,1
p.s. Ieri ho scritto male la serie di numeri!! XD quindi chi l'avesse letto se lo dimentichi!!
Cmq secondo me la soluzione è cosi.. Adesso aspetto qualcuno che lo neghi(probabile... )! XD
Possibile 1728? Il problema se non sbaglio sarebbe uguale a "quante sono le terne diverse di numeri tali che la somma dei 3 numeri sia 141?"
Infatti quando tracciamo una corda, possiamo dire che tra il primo punto e il secondo punto ci sono X punti (girando in senso orario), e lo stesso tra il secondo punto e il terzo e tra il terzo e il primo. La somma dei punti che rimangono "in mezzo" è sempre uguale a 141 (144 meno i 3 punti con cui ho formato il triangolo), e posso quindi scrivere ogni triangolo come una terna di numeri. Ad es: 0-0-141 sarebbe il triangolo formato dall'unione di 3 punti consecutivi. (0 punti tra il primo e il secondo, 0 tra il secondo e il terzo, 141 tra il terzo e il primo)
Ogni terna diversa, darà quindi un triangolo di area diversa.
Il problema sta ora nel contare quante sono queste terne, che equivale a trovare quanti sono i triangoli di area diversa.
0-0-141,0-1-140,0-2-139........0-70-71 ----> 71 triangoli (le terne che contengono 0)
1-1-139,1-2-138..........1-70-70 -----> 70 triangoli (le terne che NON contengono 0)
2-2-137,2-3-136..........----->68 triangoli (le terne che NON contengono 0 e 1)
....
Ci accorgiamo insomma che è la somma dei primi 71 numeri, meno la somma dei numeri divisibili per 3 fino a 71 (infatti 69,66,63 ect non appaiono).
Quindi (71*72/2)-3(23*24/2)= 1728
Ditemi se ho sbagliato ( è possibile , l'ho fatto prima di addormentarmi
)
Infatti quando tracciamo una corda, possiamo dire che tra il primo punto e il secondo punto ci sono X punti (girando in senso orario), e lo stesso tra il secondo punto e il terzo e tra il terzo e il primo. La somma dei punti che rimangono "in mezzo" è sempre uguale a 141 (144 meno i 3 punti con cui ho formato il triangolo), e posso quindi scrivere ogni triangolo come una terna di numeri. Ad es: 0-0-141 sarebbe il triangolo formato dall'unione di 3 punti consecutivi. (0 punti tra il primo e il secondo, 0 tra il secondo e il terzo, 141 tra il terzo e il primo)
Ogni terna diversa, darà quindi un triangolo di area diversa.
Il problema sta ora nel contare quante sono queste terne, che equivale a trovare quanti sono i triangoli di area diversa.
0-0-141,0-1-140,0-2-139........0-70-71 ----> 71 triangoli (le terne che contengono 0)
1-1-139,1-2-138..........1-70-70 -----> 70 triangoli (le terne che NON contengono 0)
2-2-137,2-3-136..........----->68 triangoli (le terne che NON contengono 0 e 1)
....
Ci accorgiamo insomma che è la somma dei primi 71 numeri, meno la somma dei numeri divisibili per 3 fino a 71 (infatti 69,66,63 ect non appaiono).
Quindi (71*72/2)-3(23*24/2)= 1728
Ditemi se ho sbagliato ( è possibile , l'ho fatto prima di addormentarmi
)Boh, provo pure io. Fisso il primo vertice.
Se il secondo è adiacente, ho $ (144-2)/2 = 71 $ possibili triangoli.
Se il dista uno, ho $ (144-3)/2 + 1/2 - 1 = 70 $ possibili triangoli.
Se dista due, $ (144-4)/2 - 2 = 68 $ possibili triangoli, e così via, fino ad arrivare al triangolo equilatero, i cui punti dovrebbero distare 47.
La formula, con n = punti fra i due che delimitano la base, è $ (142-n)/2 - n $, $ + 1/2 $ se $ n $ è dispari.
Il risultato è $ \sum_{n=0}^{47} {(142-3n)/2 +1/4} = \sum_{n=0}^{47} {3n/2 +3/4} = 3(47*24)/2 + 36 = 1728 $
In conclusione, quanto scritto da LukasEta dovrebbe essere giusto, no?
Se il secondo è adiacente, ho $ (144-2)/2 = 71 $ possibili triangoli.
Se il dista uno, ho $ (144-3)/2 + 1/2 - 1 = 70 $ possibili triangoli.
Se dista due, $ (144-4)/2 - 2 = 68 $ possibili triangoli, e così via, fino ad arrivare al triangolo equilatero, i cui punti dovrebbero distare 47.
La formula, con n = punti fra i due che delimitano la base, è $ (142-n)/2 - n $, $ + 1/2 $ se $ n $ è dispari.
Il risultato è $ \sum_{n=0}^{47} {(142-3n)/2 +1/4} = \sum_{n=0}^{47} {3n/2 +3/4} = 3(47*24)/2 + 36 = 1728 $
In conclusione, quanto scritto da LukasEta dovrebbe essere giusto, no?
Cosaaaaaa? No, ma allora è una congiura!!!!! Al Lingotto ce ne hanno dato sbagliato uno (per fortuna di pochi punti), alla simulazione di Campigotto di maggio un altro e adesso vengo a sapere che è successo anche a Cesenatico!!! 
Alla gara ho dato come risposta 1728 e me l'hanno data sbagliata, mentre ero sicuro della soluzione (peraltro bella a mio giudizio) che avevo trovato...
Se non avessimo vinto lo stesso quella finale dichiarerei guerra alla sede dell'UMI...
Alla gara ho dato come risposta 1728 e me l'hanno data sbagliata, mentre ero sicuro della soluzione (peraltro bella a mio giudizio) che avevo trovato...
Se non avessimo vinto lo stesso quella finale dichiarerei guerra alla sede dell'UMI...
Edoardo
Già che ci sono scrivo la mia soluzione.
Fissato il primo vertice, costruire un triangolo equivale a fare tre salti, l'ultimo dei quali deve farmi tornare al punto di partenza.
In pratica devo trovare le soluzioni di $ a+b+c=144 $ escludendo le cicliche.
Il numero di tutte le terne ordinate è $ \binom{143}{2}=10153 $, infatti fare tre salti equivale a sistemare due "separatori" nella fila dei 144 lati e i posti disponibili sono 143.
Tuttavia in questo conteggio ho preso 6 volte tutte le terne che hanno i tre lati diversi (che chiamo $ A_1 $) e 3 volte tutte le terne che hanno due lati uguali e uno diverso (che chiamo $ A_2 $).
In particolare osservo che $ A_2 $ equivale al numero di soluzioni intere positive dell'equazione $ 2x+y=144 $ ad esclusione del caso in cui $ x=y $. Come si osserva facilmente dunque $ A_2=70 $.
Dovrà dunque valere: $ 6 \cdot A_1 + 3 \cdot A_2 + 1 = 10153 $ e sostituendo il valore ottenuto per $ A_2 $ ottengo $ A_1=1657 $.
Il numero dei triangoli dunque, essendo uguale a $ A_1+A_2+1 $ sarà 1728.
Fissato il primo vertice, costruire un triangolo equivale a fare tre salti, l'ultimo dei quali deve farmi tornare al punto di partenza.
In pratica devo trovare le soluzioni di $ a+b+c=144 $ escludendo le cicliche.
Il numero di tutte le terne ordinate è $ \binom{143}{2}=10153 $, infatti fare tre salti equivale a sistemare due "separatori" nella fila dei 144 lati e i posti disponibili sono 143.
Tuttavia in questo conteggio ho preso 6 volte tutte le terne che hanno i tre lati diversi (che chiamo $ A_1 $) e 3 volte tutte le terne che hanno due lati uguali e uno diverso (che chiamo $ A_2 $).
In particolare osservo che $ A_2 $ equivale al numero di soluzioni intere positive dell'equazione $ 2x+y=144 $ ad esclusione del caso in cui $ x=y $. Come si osserva facilmente dunque $ A_2=70 $.
Dovrà dunque valere: $ 6 \cdot A_1 + 3 \cdot A_2 + 1 = 10153 $ e sostituendo il valore ottenuto per $ A_2 $ ottengo $ A_1=1657 $.
Il numero dei triangoli dunque, essendo uguale a $ A_1+A_2+1 $ sarà 1728.
Edoardo