Polinomio russo

[sprmnt21]

Sia p(x)=x^3-3x^2+5x e sia p(h)=1 e p(k)=5. Determinare quanto vale h+k.
<BR>
<BR>ASU 1991 nr.18
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 10-04-2003 11:23 ]

[XT]

Penso proprio h+k=2 ma mi manca una dimostrazione carina...

[sprmnt21]

Prima di trovare la soluzione \"buona\" ho faticato parecchio facendo un bel po\' di conti. Alla fine ho trovato un modo che da\' la soluzione in poco piu\' di un paio di righe, molto \"discorsive\" e senza quasi alcun conto.
<BR>
<BR>

[EvaristeG]

Vediamo, la derivata seconda ha come unica radice x=1 , il che significa un flesso in (1;3). Dunque, poichè la cubica in questione è simmetrica rispetto al punto di flesso, ci potremo aspettare che, siccome le ordinate dei punti interessati sono simmetriche rispetto a 3 (3-2=p(h) e 3+2=p(k)) allora anche le ascisse saranno simmetriche rispetto a 1, della forma 1+a e 1-a. Quindi la loro somma è 2.
<BR>
<BR>Mi sembrano più di due righe, ma i calcoli sono effettivamente ridotti all\'osso. E\' la tua? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

[sprmnt21]

Esattamente!
<BR>
<BR>Solo qualche osservazione:
<BR>
<BR>La simmetria rispetto a (1,3) deriva dal fatto che la y=f(x) si puo\' riscrivere come: y-3=(x-1)^3+2(x-1). Per essere sicuri che dal fatto che f(h-1)+f(k-1)=0 ed f dispari segue che (h-1)+(k-1)=0, bisogna assicurarsi che f sia iniettiva. Questo segue dal fatto che f e\' crescente che puo essere provato anche senza fare ricorso alle derivate.
<BR>
<BR>