Diofantea semplice

[Euler]

Ecco un esercizio semplice che ho trovato in una gara a squadre:
Trovare tutte le soluzioni all'equazione $ rq+p^2=676 $ con p, q, r primi
Vorrei vedere alcuni metodi risolutivi, perchè sto cercando di migliorare in tdn

[gian92]

$ rq=(26+p)(26-p) $ le possbilità per (r,q) sono allora (dato che r+q=52) (47,5),(41,11),(23,29) oppure che 26-p= 1 ma non p possibile per p primo.
sostituiamo queste tre possibili soluzioni nel sistema corrispondente ma per p primo funziona solamente $ (p,q,r)=(3,23,29) $

[Euler]

E naturalmente il simmetrico con r e q
Anch'io ho seguito questa strada, ma mi è sembrata un po' troppo empirica. Esiste un metodo per trovare una coppia di primi che sommata dia un certo numero senza andare a tentativi (almeno da quanto ho capito penso tu abbia fatto così)?

[ndp15]

Se dato un numero $ 2n $ riuscissi sempre a determinare una coppia di primi $ p $ e $ q $ tali che $ p+q=2n $ saremmo a posto.
Detto questo penso esistano svariati metodi per "alleggerire" i calcoli che non provare primo per primo, ma di certo bisogna sempre "sporcarsi le mani" (cit.)

[Hector]

$ rq=(26+p)(26-p) $ le possbilità per (r,q) sono allora (dato che r+q=52) (47,5),(41,11),(23,29) oppure che 26-p= 1 ma non p possibile per p primo.
sostituiamo queste tre possibili soluzioni nel sistema corrispondente ma per p primo funziona solamente $ (p,q,r)=(3,23,29) $

scusa l'ignioranza, ma perchè r+q è uguale ha 52?

[gian92]

$ rq=(26+p)(26-p) $ le possbilità per (r,q) sono allora (dato che r+q=52) (47,5),(41,11),(23,29) oppure che 26-p= 1 ma non p possibile per p primo.
sostituiamo queste tre possibili soluzioni nel sistema corrispondente ma per p primo funziona solamente $ (p,q,r)=(3,23,29) $

scusa l'ignioranza, ma perchè r+q è uguale ha 52?

siccome r e q sono primi possiamo scrivere $ 26+p=r $ e $ 26-p=q $ sommando le due abbiamo $ 52=r+q $

[Bake]

$ rq=(26+p)(26-p) $ le possbilità per (r,q) sono allora (dato che r+q=52) (47,5),(41,11),(23,29) oppure che 26-p= 1 ma non p possibile per p primo.
sostituiamo queste tre possibili soluzioni nel sistema corrispondente ma per p primo funziona solamente $ (p,q,r)=(3,23,29) $

scusa l'ignioranza, ma perchè r+q è uguale ha 52?

perchè essendo r e q primi l'unica possibilità è che i 2 fattori del RHS siano uno r e uno q e la loro somma è 52

[Hector]

$ rq=(26+p)(26-p) $ le possbilità per (r,q) sono allora (dato che r+q=52) (47,5),(41,11),(23,29) oppure che 26-p= 1 ma non p possibile per p primo.
sostituiamo queste tre possibili soluzioni nel sistema corrispondente ma per p primo funziona solamente $ (p,q,r)=(3,23,29) $

scusa l'ignioranza, ma perchè r+q è uguale ha 52?

siccome r e q sono primi possiamo scrivere $ 26+p=r $ e $ 26-p=q $ sommando le due abbiamo $ 52=r+q $

OMG è vero grazie per la risposta

[Euler]

Se dato un numero $ 2n $ riuscissi sempre a determinare una coppia di primi $ p $ e $ q $ tali che $ p+q=2n $ saremmo a posto.
Detto questo penso esistano svariati metodi per "alleggerire" i calcoli che non provare primo per primo, ma di certo bisogna sempre "sporcarsi le mani" (cit.)

Mi fai un esempio di come potrei alleggerire il calcolo? Ad esempio una delle cose che vengono subito in mente è che il primo non può finire per 7, a meno che non sia 47, che però non va bene per ovvi motivi. Cos'altro potrei fare per il problema?

[gismondo]

I primi modulo 6 valgono 1 oppure -1, esclusi 2 e 3 naturalmente. Detto questo dovrebbero bastare poche prove per capire p=3, a quel punto si tratta solo di scomporre 667.

[Omar93]

A me viene p,r,q : (3,23,29) e (7,19,33)

[Mist]

A me viene p,r,q : (3,23,29) e (7,19,33)

$33$ non è primo, chiede $p,q,r$ numeri primi

[Omar93]

Giusto Che svista!!
Non so perchè ma l'ho confuso con 31