Integrali di linea di seconda specie

[Roy]

Ciao a tutti, sono uno studente di ingegneria nostalgico delle olimpiadi della matematica. Sto seguendo il corso di analisi II e sto studiando gli integrali curvilinei. Cerco di interpretare ogni argomento dal punto di vista geometrico e stranamente,solo così riesco a capirlo realmente nella sua essenza...Detto questo,dopo aver impiegato qualche pomeriggio a riconoscere il significato geometrico dell'integrale curvilineo di prima specie,sto perdendo il senno cercando di "vedere" cosa rappresenta quello di seconda specie...so che dal punto di vista fisico rappresenta il lavoro compiuto,ma a me interesserebbe sapere cosa rappresenta lo scalare che ne esce fuori dai calcoli esclusivamente dal punto di vista geometrico. Chiedo scusa per la prolissità,grazie anticipatamente per le eventuali risposte.

[Nonno Bassotto]

Temo che la terminologia che usi non sia standard. Prova a darci qualche definizione, altrimenti è un po' difficile risponderti.

[SkZ]

penso che intenda
$ $\int_\gamma \vec{F}\cdot\textrm{d}\vec{l} $


a proposito il Teorema di Stokes che dice che se il percorso e' chiuso, ovvero $ ~\gamma=\partial S $ con S superficie che ha $ ~\gamma $ come contorno
$ $\int_{\partial S} \vec{F}\cdot\textrm{d}\vec{l}=\int_S\nabla\times\vec{F}\cdot\textrm{d}\vec{\sigma} $
scusate ma il teorema
$ $\int_{\partial S}\omega=\int_S\textrm{d}\omega $
(con S una varietà differenziabile di dimensione n e $ ~\omega $ una n-1-forma a supporto compatto su S con frontiera $ ~\partial S $ con la sua orientazione indotta)
mi piace da matti

[Roy]

penso che intenda
$ $\int_\gamma \vec{F}\cdot\textrm{d}\vec{l} $

Si,intendo proprio l'integrale curvilineo di una forma differenziale...Mi rendo conto di non essermi espresso abbastanza chiaramente (probabilmente ciò che chiedo non ha proprio senso). Ad ogni modo, il significato geometrico dell'integrale curvilineo di prima specie è questo:

http://www.slideshare.net/raffafratta/i ... eo-1438729

A questo punto vorrei sapere se si può parlare di un significato geometrico per l'integrale curvilineo di una forma diffenziale. Spero di essere stato più chiaro stavolta,grazie per l'interessamento.

[SkZ]

quello discende da
$ $\int_a^b f\textrm{d}x\approx\lim_{\Delta x\to 0^+}\sum_{x=a}^b f(x)\Delta x $
con x che aumenta a step di $ ~\Delta x $
(Integrale di Reimann? )

similmente, con l coordinata curvilinea
$ $\int_\gamma \vec{F}\cdot\textrm{d}\vec{l}\approx\lim_{\Delta l\to 0^+}\sum_\gamma \vec{F}(l)\cdot\vec{\Delta l}(l)=\lim_{\Delta l\to 0^+}\sum_\gamma F(l)\Delta l(l)\cos{\theta} $


Cmq non mi convince del tutto quella visione geometrica

[Roy]

similmente, con l coordinata curvilinea
$ $\int_\gamma \vec{F}\cdot\textrm{d}\vec{l}\approx\lim_{\Delta l\to 0^+}\sum_\gamma \vec{F}(l)\cdot\vec{\Delta l}(l)=\lim_{\Delta l\to 0^+}\sum_\gamma F(l)\Delta l(l)\cos{\theta} $


Cmq non mi convince del tutto quella visione geometrica

Mi dispiace ma non ti seguo...che cosa rappresenta per te dal punto di vista geometrico questo integrale di un prodotto scalare tra due vettori?io riflettendoci oggi ho cercato qualche connessione col piano tangente alla superficie della funzione(siamo sempre in due variabili), perchè difatti,se non erro la forma differenziale "rappresenta" un piano nel momento in cui attribuiamo le coordinate alle variabili e per Stokes,come tu suggerivi,l'integrale curvilineo e uguale ad un integrale doppio di una certa funzione (quindi abbiamo un volume). Mi rendo conto che il ragionamento è contorto ma non riesco a trovare un altro modo per comunicare il mio pensiero

[Roy]

SkZ non mi abbandonare...