Sia ABCD un quadrato, e sia P un punto interno ad esso tale che
$ \widehat{ABP} = \widehat{BAP} = 15° $.
Dimostrare che il triangolo PCD è equilatero.
Normale 83/2
Normale 83/2
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
. In ogni caso se vuoi posta pure la soluzione!Allora chiamo $ l $ il lato edl quadrato; e chiamo H e K rispettivamente i punti medi di AB e di CD.
$ PH = \frac{l}{2}\cdot sin 15 $
$ KP = l - \frac{l}{2}\cdot sin 15 $
$ KD= \frac{l}{2} $
$ DP=CP= \sqrt {( l - \frac{l}{2}\cdot sin 15)^2 + (l - \frac{l}{2}) ^ 2 } $
Svolgendo i conti mi viene che $ DP=1,00792 l $ ma credo che sia solo un errore di appossiamzione del seno e successivamente delle radici.
Edit: con al radice finale che mi ero scordato di fare $ 1,003956064 $ .... non capisco perchè, ho ricontrollato tutti i conti
$ PH = \frac{l}{2}\cdot sin 15 $
$ KP = l - \frac{l}{2}\cdot sin 15 $
$ KD= \frac{l}{2} $
$ DP=CP= \sqrt {( l - \frac{l}{2}\cdot sin 15)^2 + (l - \frac{l}{2}) ^ 2 } $
Svolgendo i conti mi viene che $ DP=1,00792 l $ ma credo che sia solo un errore di appossiamzione del seno e successivamente delle radici.
Edit: con al radice finale che mi ero scordato di fare $ 1,003956064 $ .... non capisco perchè, ho ricontrollato tutti i conti
Ultima modifica di amatrix92 il 29 mag 2010, 00:26, modificato 1 volta in totale.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Normale 83/2
Premetto di non essere molto sicuro che questa dimostrazione sia giusta...
Sia P' il punto tale che DP'C risulti equilatero. Siccome $ DP'=AD $, e $ A\widehat DP'=30° $, $ D\widehat P'A=75° $
Con ragionamento analogo si trova $ B\widehat P'C=75° $, da cui $ D\widehat P'A=150° $. Inoltre, siccome il triangolo AP'D è congruente al triangolo BP'C, allora CP'D è isoscele, da cui $ P'\widehat AB=P'\widehat BD=15° $.
Supponiamo ora che il punto P sia distinto da P': questo è assurdo poichè P non starebbe allora su entrambe le rette P'A e P'B, e quindi l'angolo PAB (o PBA) risulterebbe diverso da 15°.
EDIT:Corretto un paio di lettere sbagliate...
Sia P' il punto tale che DP'C risulti equilatero. Siccome $ DP'=AD $, e $ A\widehat DP'=30° $, $ D\widehat P'A=75° $
Con ragionamento analogo si trova $ B\widehat P'C=75° $, da cui $ D\widehat P'A=150° $. Inoltre, siccome il triangolo AP'D è congruente al triangolo BP'C, allora CP'D è isoscele, da cui $ P'\widehat AB=P'\widehat BD=15° $.
Supponiamo ora che il punto P sia distinto da P': questo è assurdo poichè P non starebbe allora su entrambe le rette P'A e P'B, e quindi l'angolo PAB (o PBA) risulterebbe diverso da 15°.
EDIT:Corretto un paio di lettere sbagliate...
Ultima modifica di Zephyrus il 01 giu 2010, 14:42, modificato 1 volta in totale.
Diamine!! è vero!! sarà stato l'orario che mi ha fatto confonderePigkappa ha scritto:E' la tangente e non il seno.amatrix92 ha scritto: $ PH = \frac{l}{2}\cdot sin 15 $
Comunque è una soluzione lecita, ma ovviamente durante la prova non potrai usare la calcolatrice e dovrai ricavarti la tangente di 15° a mano, e non sbagliare i conti successivi.
Comunque la Tangente di 15° si ricava per sottrazione o bisezione se ci si ricorda la forumula di bisezione della tangente: $ Tg(15)= \frac {1-cos(30)}{sen(30)} $
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
@ Zephyrus: non so se hai fatto solo errori di scrittura degli angoli e dei triangoli, ma hai detto due cose false: in realtà DP'B = 135° e non 150, inoltre il triangolo BP'D non è isoscele...
La mia soluzione è stata molto simile a quella di Amatrix, solo che mi sono giostrato un po' col teorema di Carnot al posto che con le tangenti (l'unico coseno da calcolare è cos(75) = cos(45 + 30) che si può fare a mano).
Dopo qualche conticino, viene abbastanza facilmente. Ma non so se ci sono soluzioni non trigonometriche.
La mia soluzione è stata molto simile a quella di Amatrix, solo che mi sono giostrato un po' col teorema di Carnot al posto che con le tangenti (l'unico coseno da calcolare è cos(75) = cos(45 + 30) che si può fare a mano).
Dopo qualche conticino, viene abbastanza facilmente. Ma non so se ci sono soluzioni non trigonometriche.
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
Per il teorema di pitagora, basta dimostrare che l'altezza del triangolo CDP è uguale a L√3/2. Per verificarlo basta sottrare a L (lato del quadrato=lato triangolo) l'altezza del triangolo ABP. Quest'ultima la si ricava con L/2 tg15=L/2 (2-√3)=L-L√3/2.
Quindi Altezza CDP=L-(L-L√3/2)=L√3/2. Dite che va bene?
Quindi Altezza CDP=L-(L-L√3/2)=L√3/2. Dite che va bene?
"Follia è fare sempre la stessa cosa e aspettarsi risultati diversi".
Direi che in sostanza è uguale alla mia soluzione solo che parti dalla fine...Ranma ha scritto:Per il teorema di pitagora, basta dimostrare che l'altezza del triangolo CDP è uguale a L√3/2. Per verificarlo basta sottrare a L (lato del quadrato=lato triangolo) l'altezza del triangolo ABP. Quest'ultima la si ricava con L/2 tg15=L/2 (2-√3)=L-L√3/2.
Quindi Altezza CDP=L-(L-L√3/2)=L√3/2. Dite che va bene?
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.