) al punto medio del lato opposto.Determinare l'area del quadrilatero formato dai quattro punti di intersezione delle due parabole.
Buon lavoro!
Intersezione di parabole
Intersezione di parabole
Un quadrato di lato 100 è attraversato da due parabole, una che va dagli estremi di un lato al punto medio del lato opposto, l'altra dagli estremi del lato adiacente (a destra o a sinistra, non cambia niente ) al punto medio del lato opposto.
Determinare l'area del quadrilatero formato dai quattro punti di intersezione delle due parabole.
Buon lavoro!
) al punto medio del lato opposto.Determinare l'area del quadrilatero formato dai quattro punti di intersezione delle due parabole.
Buon lavoro!
cogito ergo demonstro
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Crazy Math
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Analiticamente credo si faccia abbastanza velocemente...Normalmente non mi è venuto 
, comunque il fatto che tu l'abbia postato in algebra dovrebbe far pensare che anche tu l'hai risolto analiticamente .
E a cosa ti sono serviti gli integrali? O.O
Se a qualcuno importa ho fatto un disegno un po' approssimato.
EDIT.
, comunque il fatto che tu l'abbia postato in algebra dovrebbe far pensare che anche tu l'hai risolto analiticamente .E a cosa ti sono serviti gli integrali? O.O
Se a qualcuno importa ho fatto un disegno un po' approssimato.
EDIT.
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C'è un metodo bello o è solo calcolo?
Chiamando ABCD il quadrato, e diamogli per vertici (-50, 0), (-50, 100), (50, 0) e (50, 100). Fisso i vertici delle parabole in (0, 0) e (-50, -50). Un punto d'intersezione (diciamo A) è un vertice del quadrato, un altro (diciamo E) è sulla diagonale AC e gli altri due sono simmetrici rispetto ad AC.
L'equazione delle parabole è y = x²/25, quindi il punto E è tre quarti della diagonale AC, partendo da A. AE = 75√2. Mi basta trovare una qualsiasi altra intersezione, calcolo l'area del triangolo di base AE e raddoppio.
Trovare l'altra intersezione sembra brutto, dunque, l'altra parabola ha equazione x = y²/25 + by + 50, visto che hanno la stessa apertura, e passa per (50, 0). Ha vertice in (-50, 50), trovo b di conseguenza. - 50 = 100 + 50b + 50; b = - 4.
Quindi l'equazione è x = y²/25 - 4y + 50.
Metto a sistema, $ x = \frac{x^4}{15625} - \frac{4x^2}{25} + 50 $. Non saprei trattare questo obbrobrio. $ x^4 - 2500x^2 - 15625(x + 50) = 0 $. $ x^2(x + 50)(x - 50) = 15625(x - 50) $. Toh, posso semplificare ponendo x ≠ 50 (che mi dà l'intersezione (50, 100)).
$ x^2(x + 50) = 15625 $. Lo scompongo, vediamo che succede.
$ (x + 25)(x^2 + 25x - 625) = 0 $ Bé, x = -25 l'ho già considerata, mi resta il polinomio di secondo grado. Le radici sono $ -\frac{25}2(\sqrt5 + 1) $ e $ \frac{25}2(\sqrt5 - 1) $.
Le relative ordinate sono $ \frac{25}4(6 - 2\sqrt5) $ e $ \frac{25}4(6 + 2\sqrt5) $, e la distanza fra i punti $ (-\frac{25}2(\sqrt5 + 1), \frac{25}4(6 + 2\sqrt5)) $ e $ (\frac{25}2(\sqrt5 - 1), \frac{25}4(6 - 2\sqrt5)) $ è $ \sqrt{(25\sqrt5)^2 + (25\sqrt5)^2} = \sqrt{2*5^5} = 25\sqrt{10} $
La lunghezza dell'altra diagonale del quadrilatero era 75√2, avevamo detto. Moltiplico queste due diagonali, divido per 2 e ho l'area, che mi esce 1875√5. Ok, dove ho sbagliato?
Chiamando ABCD il quadrato, e diamogli per vertici (-50, 0), (-50, 100), (50, 0) e (50, 100). Fisso i vertici delle parabole in (0, 0) e (-50, -50). Un punto d'intersezione (diciamo A) è un vertice del quadrato, un altro (diciamo E) è sulla diagonale AC e gli altri due sono simmetrici rispetto ad AC.
L'equazione delle parabole è y = x²/25, quindi il punto E è tre quarti della diagonale AC, partendo da A. AE = 75√2. Mi basta trovare una qualsiasi altra intersezione, calcolo l'area del triangolo di base AE e raddoppio.
Trovare l'altra intersezione sembra brutto, dunque, l'altra parabola ha equazione x = y²/25 + by + 50, visto che hanno la stessa apertura, e passa per (50, 0). Ha vertice in (-50, 50), trovo b di conseguenza. - 50 = 100 + 50b + 50; b = - 4.
Quindi l'equazione è x = y²/25 - 4y + 50.
Metto a sistema, $ x = \frac{x^4}{15625} - \frac{4x^2}{25} + 50 $. Non saprei trattare questo obbrobrio. $ x^4 - 2500x^2 - 15625(x + 50) = 0 $. $ x^2(x + 50)(x - 50) = 15625(x - 50) $. Toh, posso semplificare ponendo x ≠ 50 (che mi dà l'intersezione (50, 100)).
$ x^2(x + 50) = 15625 $. Lo scompongo, vediamo che succede.
$ (x + 25)(x^2 + 25x - 625) = 0 $ Bé, x = -25 l'ho già considerata, mi resta il polinomio di secondo grado. Le radici sono $ -\frac{25}2(\sqrt5 + 1) $ e $ \frac{25}2(\sqrt5 - 1) $.
Le relative ordinate sono $ \frac{25}4(6 - 2\sqrt5) $ e $ \frac{25}4(6 + 2\sqrt5) $, e la distanza fra i punti $ (-\frac{25}2(\sqrt5 + 1), \frac{25}4(6 + 2\sqrt5)) $ e $ (\frac{25}2(\sqrt5 - 1), \frac{25}4(6 - 2\sqrt5)) $ è $ \sqrt{(25\sqrt5)^2 + (25\sqrt5)^2} = \sqrt{2*5^5} = 25\sqrt{10} $
La lunghezza dell'altra diagonale del quadrilatero era 75√2, avevamo detto. Moltiplico queste due diagonali, divido per 2 e ho l'area, che mi esce 1875√5. Ok, dove ho sbagliato?
Ultima modifica di sasha™ il 31 mag 2010, 19:40, modificato 3 volte in totale.
Il risultato sarebbe 4192 ...sasha™ ha scritto:C'è un metodo bello o è solo calcolo?
Chiamando ABCD il quadrato, e diamogli per vertici (-50, 0), (-50, 100), (50, 0) e (50, 100). Fisso i vertici delle parabole in (0, 0) e (-50, -50). Un punto d'intersezione (diciamo A) è un vertice del quadrato, un altro (diciamo E) è sulla diagonale AC e gli altri due sono simmetrici rispetto ad AC.
L'equazione delle parabole è y = x²/25, quindi il punto E è tre quarti della diagonale AC, partendo da A. AE = 75√2. Mi basta trovare una qualsiasi altra intersezione, calcolo l'area del triangolo di base AE e raddoppio.
Trovare l'altra intersezione sembra brutto, dunque, l'altra parabola ha equazione x = y²/25 + by + 50, visto che hanno la stessa apertura, e passa per (50, 0). Ha vertice in (-50, 50), trovo b di conseguenza. - 50 = 100 + 50b + 50; b = - 4.
Quindi l'equazione è x = y²/25 - 4y + 50.
Metto a sistema, $ x = \frac{x^4}{15625} - \frac{4x^2}{25} + 50 $. Non saprei trattare questo obbrobrio. $ x^4 - 2500x^2 - 15625(x + 50) = 0 $. $ x^2(x + 50)(x - 50) = 15625(x - 50) $. Toh, posso semplificare ponendo x ≠ 50 (che mi dà l'intersezione (50, 100)).
$ x^2(x + 50) = 15625 $. Lo scompongo, vediamo che succede.
$ (x + 25)(x^2 + 25x - 625) = 0 $ Bé, x = -25 l'ho già considerata, mi resta il polinomio di secondo grado. Le radici sono $ -\frac{25}2(\sqrt5 + 1) $ e $ \frac{25}2(\sqrt5 - 1) $.
Le relative ordinate sono $ \frac{25}4(6 - 2\sqrt5) $ e $ -\frac{25}4(6 + 2\sqrt5) $, e la distanza fra i punti $ (-\frac{25}2(\sqrt5 + 1), -\frac{25}4(6 + 2\sqrt5)) $ e $ (\frac{25}2(\sqrt5 - 1), \frac{25}4(6 - 2\sqrt5)) $ è $ \sqrt{(25\sqrt5)^2 + 75^2} = \sqrt{5^5 + 3^2*5^4} = 25\sqrt{14} $
La lunghezza dell'altra diagonale del quadrilatero era 75√2, avevamo detto. Moltiplico queste due diagonali, divido per 2 e ho l'area, che mi esce 1875√7. Ok, dove ho sbagliato?
Io ho considerato sempre il sistema e, trovati i punti (con la calcolatrice), ho trovato l' area togliendo al semiquadrato un triangolo e due trapezi e raddoppiando.
cogito ergo demonstro
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Spammowarrior
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- Iscritto il: 23 dic 2009, 17:14
Ci avevo pensato anch'io, ma come si calcola l'area di un segmento parabolico?Spammowarrior ha scritto:butto lì una idea brutta e di analisi:
con qualche integralazzo calcolo l'area compresa tra le due parabole, e poi sottraggo i 4 segmenti parabolici.
in linea di massima mi sembra che possa funzionare, però non lo faccio perchè sono una marea di conti enormi
cogito ergo demonstro
Se non sbaglio è due terzi dell'area del rettangolo circoscritto, cioè che ha un lato che è il segmento, e l'altro lato parallelo al segmento appariene alla tangente parallela al segmento.Euler ha scritto:Ci avevo pensato anch'io, ma come si calcola l'area di un segmento parabolico?Spammowarrior ha scritto:butto lì una idea brutta e di analisi:
con qualche integralazzo calcolo l'area compresa tra le due parabole, e poi sottraggo i 4 segmenti parabolici.
in linea di massima mi sembra che possa funzionare, però non lo faccio perchè sono una marea di conti enormi