Conoscendo l\'algoritmo per trovare le radici reali di una qualsiasi equazione di III grado, trovare le radici reali de sistema:
<BR>
<BR> /p(x)=y
<BR><
<BR> \\p(y)=x
<BR>
<BR>
<BR>dove p e\' un polinomio di III grado.
<BR>
<BR>
<BR>PS
<BR>
<BR>Il problema e\' il nr. 19 delle olimpiadi sovietiche del 1992.
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<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 10-04-2003 19:46 ]
Polinomi russi II
Moderatore: tutor
simpatico questo problemino!
<BR>dunque dunque...
<BR>firstable: il sistema è simmetrico, e la cosa è molto molto simpatica...
<BR>poi, sia p(x) = ax³+bx²+cx+d il nostro caro polinomio...
<BR>ora sottraiamo e sommiamo membro a membro le due equazioni: da quella della differenza si otterranno due casi: 1)x-y=0, che porta alla facile conclusione x=y=x1 V x2 V x3 con axi³+bxi²+(c-1)xi+d=0 per 0<i<4.
<BR>2) x-y=/=0 che implica ax²+axy+ay²+bx+by+c=0 (se non ho sbagliato qualche calcoletto idiota).
<BR>ora riscriviamo questa e l\'equazione-somma in funzione di s=x+y e p=xy... et voilà!
<BR>il gioco è fatto! otteniamo un\'equazione di primo grado in p e di secondo in s dalla differenza, quindi ricaviamo la p e sostituiamo nella seconda, ottenendo un\'equazione di terzo grado in s che sappiamo risolvere per ipotesi, quindi ricaviamo la p e risolviamo la quadratica t²-st+p per ottenere le altre sei soluzioni desiderate.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 12-04-2003 19:58 ]
<BR>dunque dunque...
<BR>firstable: il sistema è simmetrico, e la cosa è molto molto simpatica...
<BR>poi, sia p(x) = ax³+bx²+cx+d il nostro caro polinomio...
<BR>ora sottraiamo e sommiamo membro a membro le due equazioni: da quella della differenza si otterranno due casi: 1)x-y=0, che porta alla facile conclusione x=y=x1 V x2 V x3 con axi³+bxi²+(c-1)xi+d=0 per 0<i<4.
<BR>2) x-y=/=0 che implica ax²+axy+ay²+bx+by+c=0 (se non ho sbagliato qualche calcoletto idiota).
<BR>ora riscriviamo questa e l\'equazione-somma in funzione di s=x+y e p=xy... et voilà!
<BR>il gioco è fatto! otteniamo un\'equazione di primo grado in p e di secondo in s dalla differenza, quindi ricaviamo la p e sostituiamo nella seconda, ottenendo un\'equazione di terzo grado in s che sappiamo risolvere per ipotesi, quindi ricaviamo la p e risolviamo la quadratica t²-st+p per ottenere le altre sei soluzioni desiderate.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 12-04-2003 19:58 ]
abbiamo le nostre due belle equazioni ottenute sommando e sottraendo le due equazioni iniziali, cioè:
<BR>a(x³±y³)+b(x²±y²)+(c-1)(x±y)+d±d=0.
<BR>raccogliamo x-y in quella della differenza, ed otteniamo due sistemi distinti:
<BR>1) {x-y=0
<BR> {a(x³+y³)+b(x²+y²)+(c-1)(x+y)+2d=0
<BR>che si risolve banalmente, sapendo l\'algoritmo di soluzione della generica equazione di terzo grado.
<BR>2) {ax²+axy+ay²+bx+by+c-1=0
<BR> {a(x³+y³)+b(x²+y²)+(c-1)(x+y)+2d=0
<BR>sostituendo x+y=s e xy=p, otteniamo il nuovo sistema
<BR>{as²-ap+bs+c-1=0
<BR>{as³-3aps+bs²-2bp+(c-1)s+2d=0,
<BR>dalla prima si ricava p=s²+bs/a+(c-1)/a, che, sostituito nella seconda, dà
<BR>{p=s²+bs/a+(c-1)/a
<BR>{as³-3(as²+bs+c-1)s+bs²-2b(s²+bs/a+(c-1)/a)+(c-1)s+2d=0,
<BR>in cui la seconda equazione è di secondo grado in s, e dà per radici s1 (ed eventualmente s2 E s3), che sostituite nella prima danno p1 (ed eventualmente p2 E p3), a cui corrispondondo sei eventuali coppie di soluzioni a due a due simmetriche.
<BR>i conti te li puoi fare da te, credo...
<BR>a(x³±y³)+b(x²±y²)+(c-1)(x±y)+d±d=0.
<BR>raccogliamo x-y in quella della differenza, ed otteniamo due sistemi distinti:
<BR>1) {x-y=0
<BR> {a(x³+y³)+b(x²+y²)+(c-1)(x+y)+2d=0
<BR>che si risolve banalmente, sapendo l\'algoritmo di soluzione della generica equazione di terzo grado.
<BR>2) {ax²+axy+ay²+bx+by+c-1=0
<BR> {a(x³+y³)+b(x²+y²)+(c-1)(x+y)+2d=0
<BR>sostituendo x+y=s e xy=p, otteniamo il nuovo sistema
<BR>{as²-ap+bs+c-1=0
<BR>{as³-3aps+bs²-2bp+(c-1)s+2d=0,
<BR>dalla prima si ricava p=s²+bs/a+(c-1)/a, che, sostituito nella seconda, dà
<BR>{p=s²+bs/a+(c-1)/a
<BR>{as³-3(as²+bs+c-1)s+bs²-2b(s²+bs/a+(c-1)/a)+(c-1)s+2d=0,
<BR>in cui la seconda equazione è di secondo grado in s, e dà per radici s1 (ed eventualmente s2 E s3), che sostituite nella prima danno p1 (ed eventualmente p2 E p3), a cui corrispondondo sei eventuali coppie di soluzioni a due a due simmetriche.
<BR>i conti te li puoi fare da te, credo...