Diofantea esponenziale

[Claudio.]

Trovare tutte le coppie $ (x,y) \in \mathbb Z $ con $ x,y\ge 0 $che soddisfano l'equazione:
$ 3^x+1=2^y $

Vorrei vedere un po' metodi diversi dal mio

[Giuseppe R]

Mi tolgo subito il caso x=0 che mi da y=1 quindi la soluzione (x,y) = (0,1) e y=0 che non mi da soluzione.
Analizzando modulo 6 si ottiene:
$ 3 + 1 \equiv 2,4 (mod\ 6) $
Da cui segue che y è pari, ponendo y=2a ottengo
$ 3^x = 2^{2a}-1 $
$ 3^x = (2^a+1)(2^a-1) $
Entrambi i fattori del LHS devono essere potenze di 3 in quanto 3 è primo, ma le uniche potenze 3 con differenza 2 sono 1 e 3, quindi:
$ 2^a-1=1 $
$ 2^a=2 $
Da cui a=1, quindi y=2, quindi x=1. Quindi le uniche soluzioni sono:
(x,y) = (0,1) ; (1,2)

[Spammowarrior]

per y=0 è impossibile.
per y=1 si trova facilmente x=0, che da la prima soluzione, (0;1)
per y=2 si trova la seconda, (1;2)
prendiamo y>2

$ (-1)^x + 1 \equiv 0 \pmod 4 $
da cui x dispari: x=2x' + 1
$ 3\cdot9^{x'} + 1 = 2^y $
$ 3\cdot(1)^{x'} + 1 \equiv 0 \pmod 8 $

che è impossibile.

[Claudio.]

Ok, la mia era simile forse un po' più lenta.
Per x dispari è uguale a quella di Giuseppe, per x pari praticmente avevo sottratto 2 ad entrambi i membri e avevo quindi scomposto la differenza di quadrati a sinistra e raggruppato il 2 a destra e con un gioco pari-dispari l'unica soluzione era x=0 y=1.
Come ti è venuto di analizzare proprio mod 6? Lo noti da qualcosa o hai fatto delle prove?