Relazione tra elementi di un quadrilatero

[Euler]

Dimostrare che in quadrilatero qualunque ABCD, con M e N i punti medi delle diagonali AC e BD, $ AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=AC^2+BD^2+4MN^2 $.
Buon lavoro!

[exodd]

mi sembra sia una relazione conosciuta... che , se non mi sbaglio (ed è molto probabile che mi sbagli) si dimostra con i vettori...

[Spammowarrior]

è un teorema di eulero.
per quanto riguarda la dimostrazione, non saprei dire.

[Euler]

Sì, è il teorema di Eulero...visto che non ho tovato la dimostrazione su internet, ho pensato di metterla come topic.

[EvaristeG]

via, qualcuno che scriva sti quattro vettori, su...

[Euler]

via, qualcuno che scriva sti quattro vettori, su...

Io ho trovato una dimostrazione che non fa uso dei vettori, comunque mi piacerebbe vedere come si possono usare...

[Sonner]

Posto la dimostrazione coi vettori.

Noto che $ M=\frac{A+C}{2}$ e che $N=\frac{B+D}{2} $ in quanto punti medi delle mediane. Riscrivo quindi il testo come:

$ (B-A)^2+(C-B)^2+(D-C)^2+(A-D)^2=(C-A)^2+(D-B)^2+4(\frac{A+C-B-D}{2})^2 $

e svolgo bovinamente i conti (ricordando che $ (X+Y)^2=X^2+Y^2+2<XY> $):

$ A^2+ B^2-2<AB>+B^2+C^2-2<BC>+C^2+D^2-2<CD>+A^2+D^2-2<AD>=A^2+C^2-2<AC>+D^2+B^2-2<BD>+A^2+C^2+B^2+D^2+2<AB>-2<AC>-2<AD>-2<BC>-2<CD>+2<BD> $

e noto con piacere che quadrati e prodotti scalari si semplificano.

A questo punto però,
1) mi piacerebbe vedere la dimostrazione in sintetica
2) prima avevo provato a scrivere $ 4MN^2 $ come $ 4M^2+4N^2+8<MN> $ e solo dopo ho svolto i conti ma mi mancavano due prodotti scalari, dove sta l'errore nel fare una cosa del genere?
3) come mai se scrivo in latex <X> mi da solo $ <X> $?

[EvaristeG]

Note tecniche:
1. per il prodotto scalare avete le seguenti possibilità:
$ \vec{A}\cdot\vec{B} $

Codice: Seleziona tutto

\vec{A}\cdot\vec{B}

$ (\vec{A},\vec{B}) $

Codice: Seleziona tutto

(\vec{A},\vec{B})

$ \langle\vec{A},\vec{B}\rangle $

Codice: Seleziona tutto

\langle\vec{A},\vec{B}\rangle

e le freccette sui vettori possiamo lasciarle perdere se, in fondo, sappiamo che son tutti vettori.

2. o scrivete (brutto ma efficace) $ A^2+B^2+2AB $ oppure una delle seguenti
$ \langle A, A\rangle+\langle B,B\rangle+2\langle A, B\rangle $
$ \|A\|^2+\|B\|^2+2\langle A, B\rangle $

Codice: Seleziona tutto

\|A\|^2+\|B\|^2+2\langle A, B\rangle

$ OA^2+OB^2+2\langle A,B\rangle $
(con questa o la vostra notazione preferita per il prodotto scalare.

(nota matematica)3. scriviamo $ \vec{A}-\vec{M}=\vec{v} $ (lo indico in minuscolo perché - ma è una scelta stilistica mia, non uno standard - la lettera non è legata a nessun punto) e $ \vec{B}-\vec{N}=\vec{u} $. Allora
$ AB^2=\|u-v+M-N\|^2 $
$ BC^2=\|v+u-M+N\|^2 $
$ CD^2=\|u-v+N-M\|^2 $
$ DA^2=\|u+v+M-N\|^2 $
quindi la somma fa
$ 2\|u+v\|^2+2\|u-v\|^2+4\|M-N\|^2 $
che, svolgendo ancora i conti, porta a
$ 4\|u\|^2+4\|v\|^2+4MN^2 $ che è l'altro lato dell'uguaglianza.
Qui abbiamo ripetutamente usato:
$ 2\|x\|^2+2\|y\|^2=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2 $.

(nota sintetica)4. In un parallelogramma XYZW vale $ XZ^2+YW^2=2(XY^2+ZW^2) $; ora chiamiamo P,Q,R,S i punti medi di AB, BC, CD, DA. Come è noto (e facilmente dimostrabile) PR e MN sono le diagonali di un parallelogramma, in cui 2PN=2RM=AD, 2RN=2PM=BC quindi
$ 2(MN^2+PR^2)=AD^2+ BC^2 $
inoltre anche QS e MN sono le diagonali di un parallelogramma e similmente
$ 2(MN^2+QS^2)=AB^2+ CD^2 $
del resto, PQRS è un parallelogramma con 2PQ=2RS=AC, 2SR=2PS=BD e dunque
$ AC^2+ BD^2=2(PR^2+QS^2) $
e dunque
$ AB^2+ BC^2+ CD^2+ DA^2=4MN^2+ AC^2+ BD^2 $.

(nota )5. Le soluzioni ai punti 3 e 4 sono completamente equivalenti.

[Euler]

Grazie per la dimostrazione ...io invece mi sono arrangiato con la formula della mediana e Carnot, se a qualcuno interessa posto la soluzione