Diofanto - e non è una bestemmia - docet/ 2

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Continuiamo la discussione qua...
 Occorreva trovare le soluzioni di y²=x³+7
 
 Rhossili, che x=2k+1== y²+1==1 mod 4, è un fatto che non costituisce un assurdo. Ti prego di fornirmi spiegazioni se ti ho mal interpretato.
 
 Azarus, è falso che y² + 1 = (x+2)(x-2)(x-2)=(x+2)(x²-4x+4). Casomai y²+1=(x+2)(x²-2x+4).
 
 Ripensandoci, non è così \"easy\" come problema... occorre avere nozioni abbastanza approfondite sulle congruenze. In un prossimo post un aiutino (sempre che ce ne sia bisogno).
 
 Ciao

Azarus · Messaggio da **Azarus** » 01 gen 1970, 01:33

infatti sono un coglione me ne sono reso conto dopo.....

Rhossili · Messaggio da **Rhossili** » 01 gen 1970, 01:33

allora io sono piu\' coglione perche\' non me ne rendo ancora conto...Lordgauss, ti spiego il mio ragionamento... se y^2+1==x (mod 4)
 e y^2+1==1 (mod 4) non significa che x=1 ???
 (abbi pazienza! sono lento, lo so!!!
 d\'altra parte non ho mai passato le olimpiadi...)
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Rhossili · Messaggio da **Rhossili** » 01 gen 1970, 01:33

La notte mi ha portato consiglio...mi sono riletto qualcosina sulle congruenze e ritiro quello che avevo scritto ieri!! D\'altra parte sbagliare e\' umano...
 (effettivamente non e\' cosi\' semplice -almeno per me- dammi un po\' di tempo)
 ps- avete dato un\'occhiata al problema delle tre scuole? che ne pensate?
 ciao
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Rhossili il 2002-03-14 07:16 ]

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Rhossili, come avrai capito, il tuo ragionamento è corretto, ma da esso non si evince che y=1, bensì che y==1.
 
 Ciao

Rhossili · Messaggio da **Rhossili** » 01 gen 1970, 01:33

Ditemi se almeno questo funziona...
 poniamo y=2j, x=2k+1
 y^2-x^3+1=8;
 sviluppando i calcoli ottengo
 4j^2-8k^3-12k^2-6k+2=8
 raccogliendo e semplificando, alla fine si ha
 2j^2-k^3=3(1+k^3+2k^2+k)
 che ha senso solo se k e\' dispari;
 
 Tornando all\'equazione:
 y^2+1=x^3+8;
 (y+1)^2=x^3+8+2y==1 (mod 4)
 (Ah come sto usando i tuoi consigli, lordgauss!)
 Andando in \'profondita\' si ha che
 x^3+8+2y=4(2k^3+3k^2+k-j)+2k+9;
 k era dispari, k=2m+1 quindi
 2k+9 = 4m+2+9 = 4(m+2)+3;
 x^3+8+2y=4(2k^3+3k^2+k-j+m+2)+3;
 si ha un 1==3 (mod 4) e credo -ma a questo punto non ne sono troppo sicuro!- che sia abbastanza assurdo per essere una valida dimostrazione...
 a presto <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon21.gif">
 
 ps- qualcuno di voi sa lavorare con le curve ellittiche, cioe\' quelle della forma y^2=ax^3+bx^2+cx+d ? Sembra che siano molto utili per far saltare fuori punti \'razionali\' dalla curva, e in generale per quanto concerne la teoria dei numeri (Wiles vs l\'ultimo teorema di Fermat)... Forse sarebbero utili per una diversa dimostrazione, senza ricorrere alle congruenze...
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Rhossili il 2002-03-14 17:43 ]

Gauss · Messaggio da **Gauss** » 01 gen 1970, 01:33

tempo fa sie era discusso molto sulle soluzioni intere dell\'equazione y^3=x^2+2.
 Non sempre le congruenze sono utili ed a volte servono strumenti più affilati.
 
 PS- per lavorare con le curve ellittiche credo che serva per lo meno un dottorato <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_smile.gif">

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Rhossili, non ho controllato il seguito della tua dimostrazione: può darsi che non influisca ma mi sembra tu faccia un errore iniziale.
 Tu scrivi:
 \"y^2-x^3+1=8;
 sviluppando i calcoli ottengo
 4j^2-8k^3-12k^2-6k+2=8 \"
 
 A me pare che però si ottenga
 4j²-(8k³+12k²+6k+1)+1=8 ovvero
 4j²-8k³-12k²-6k=8.
 
 Può darsi che mi sbagli; se invece hai sbagliato tu, non ti scoraggiare, anche perchè stai mettendo in campo idee e concetti notevoli e la tua opera, per usare il politichese, è \"meritoria\".
 
 Ciao

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Leggo ora il messaggio di Gauss...
 beh, può darsi che tu abbia ragione e che quell\'equazione non sia risolvibile con metodi elementari: ritengo però più probabile che si possa risolvere con nozioni approfondite sulle congruenze, tipo quella che sto per dare (v. Davenport, \"Aritmetica superiore\"):
 
 Se p è un primo della forma 4k+3 la congruenza n²==-1 (mod p) non ha soluzioni.
 
 E\' questo l\'aiutino che avevo promesso.
 
 Bye

Rhossili · Messaggio da **Rhossili** » 01 gen 1970, 01:33

>>>>> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_mad.gif"> <<<<<
 
 ...argh!
 ovvio che ho sbagliato io!!! ci rinuncio...
 lordgauss, mi hai sconfitto!!
 un pensierino su quella congruenza comunque ce lo faccio... <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_wink.gif">
 
 ciao

Fermat · Messaggio da **Fermat** » 01 gen 1970, 01:33

Mi son perso il quesito iniziale, qualcuno potrebbe riproporlo? grazie

teo · Messaggio da **teo** » 01 gen 1970, 01:33

lordgauss, ma sei già riuscito a risolverla con le congruenze ? perchè anche provando con il tuo aiuto (forse nn l\'ho compreso appieno) nn ne sono venuto fuori.
 forse c\'è un altro metodo di risoluzione ma credo sia più complicato che l\'utilizzo delle congruenze :
 le soluzioni della equazione y^2 = x^3 +7
 sono un sottoinsieme delle soluzioni dell\'equazione generale y^2-Ax^2 = 7 e precisamente quando a coincide con x. l\'equazione precedente ammette soluzione solo se 7 è esprimibile come una somma in cui compaiono i termini della frazione continua periodica corrispondente ad sqrt(A) . Quindi se si dimostra che preso un qualsiasi A l\'eqazione o non ammette soluzioni o se le ammette esse non sono uguali ad A l\'equazione y^2 = x^3 +7 nn ha soluzioni in Z.
 
 cmq confido in una risoluzione con le congruenze!

teo · Messaggio da **teo** » 01 gen 1970, 01:33

lordgauss, ma sei già riuscito a risolverla con le congruenze ? perchè anche provando con il tuo aiuto (forse nn l\'ho compreso appieno) nn ne sono venuto fuori.
 forse c\'è un altro metodo di risoluzione ma credo sia più complicato che l\'utilizzo delle congruenze :
 le soluzioni della equazione y^2 = x^3 +7
 sono un sottoinsieme delle soluzioni dell\'equazione generale y^2-Ax^2 = 7 e precisamente quando a coincide con x. l\'equazione precedente ammette soluzione solo se 7 è esprimibile come una somma in cui compaiono i termini della frazione continua periodica corrispondente ad sqrt(A) . Quindi se si dimostra che preso un qualsiasi A l\'eqazione o non ammette soluzioni o se le ammette esse non sono uguali ad A l\'equazione y^2 = x^3 +7 nn ha soluzioni in Z.
 
 cmq confido in una risoluzione con le congruenze!

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

L\'equazione ammette (almeno) una soluzione attraverso le congruenze.
 
 Visto che pare che la soluzione susciti interesse, se nessuno la posterà prima, prometto che la posterò io il 20 Marzo.
 
 Per finire, confermo che i suggerimenti dati fin\'ora sono utili ai fini della soluzione.

Rhossili · Messaggio da **Rhossili** » 01 gen 1970, 01:33

Questa cosa sta influendo negativamente sulla mia psiche...
 allora:
 y^2=x^3+7 non ha soluzioni in Z.y e\' dannatamente pari, x e\' dannatamente dispari.
 
 y^2+1=(x+2)^3-12x-6x^2
 
 y=2j
 
 4j^2+1+12x+6x^2=d^3, dove d e\' un numero dispari;
 d^3==d (mod 4)
 x+3==4(j^2+3x+x^2)+2x^2+1 (mod 4)
 
 x+3==2x^2+1
 
 2x^2-x-2==0
 4(2k^2+k)+2k-1==0 (mod 4)
 
 si ha che un dispari e\' divisibile per quattro.
 
 Se non funziona mi faccio prete
 
 ciao
 ps- sorry la fretta nei passaggi ma sono in biblioteca e ho poco tempo! <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_wink.gif">