Uhm, tranquillo, molto probabile che sia l'autore ad aver fatto casino.
![Embarassed :oops:](./images/smilies/icon_redface.gif)
Mi sembra di ricordare che avevo scelto quell'esercizio qualche minuto prima della lezione per illustrare un paio di tecniche (il passaggio x^2+xy+x^2 -> 3xy, e come poi scartare i fattori di quelli che tra poche righe chiamerò a e b), ma poi mi sono reso conto "in diretta" che non veniva immediatamente utilizzando solo quelle. Per far tornare tutto ammodino avrei probabilmente dovuto aggiungere l'ipotesi mcd(x,y)=1. Così l'esercizio si fa, ma è più complicato di quanto avevo pianificato. In ogni caso spero di avere spiegato decentemente le due tecniche, che erano la cosa importante...
Provo a svolgerlo per bene ora --- sperando di non rifare casino...
-nota che se d=mcd(x,y), allora d divide il tuo mcd. Possiamo quindi "semplificare una d" ponendo x=da, y=db, con stavolta mcd(a,b)=1. Il problema diventa quindi trovare d*mcd(a-b,3dab) (occhio alla d che rimane).
-ci serve quindi trovare i fattori "non banali" che può avere g:=mcd(a-b,3dab). Dove vanno cercati? O tra i divisori di a, o tra quelli di b, o tra quelli di 3d.
-se p|a e p|g, allora dev'essere anche p|b (perché?), e questo va contro l'ipotesi che a e b fossero primi tra loro
-restano i primi che dividono 3d. C'è ancora qualcosa che possiamo scartare, o può in generale succedere che tutti i divisori di 3d siano anche fattori di g? Risposta: in generale puoi beccarli tutti -- è possibile trovare esempi in cui quel divisore è un qualunque fattore di 3d (come? possiamo scegliere indipendentemente d, a e b, con l'unico vincolo che a e b siano primi tra loro. Quindi, fissati d e g, basta scegliere b=un primo enorme, e a in modo che b-a=g)
-quindi in generale quell'mcd può essere un qualunque numero w tale che $ d \mid w \mid 3d^2 $.
Ditemi se ora torna...