Quadrati,circonferenze,corde e chi più ne ha più ne metta.

[karlosson_sul_tetto]

(Da kvant)
La distanza minima tra una corda e il centro della circonferenza(nella quale passa la corda) è H. In ogni semicerchio c'è un quadrato tale che due suoi vertici congiunti da un lato di trovano sulla corda, mentre gli altri due vertici si trovano sulla circonferenza. Qual è la differenza delle lunghezze dei lati di questi due quadrati?
P.S:L'allegato riporta la costruzione di sopra.

[dario2994]

Per una volta ho trovato una soluzione carina in analitica di un problema e la posto xD
Mi riferirò all'immagine che ho allegato, che spero renda i passaggi più chiari...
Per Pitagora su OXA e OYB dato che $ $AO=OB $ perchè raggi ottengo:
$ $ OX^2+XA^2=OY^2+YB^2 $ ***
Per costruzione valgono:
$ $YV=OM=XU=H $
$ $2 YO=VB\ e\ 2 XO=AU $
$ $YB=YV+VB\ e\ UA=UX+XA $
Sostituisco questi risultati in *** ottenendo:
$ $\left(\frac{AU}{2}\right)^2+(AU-H)^2=\left(\frac{VB}{2}\right)^2+(VB+H)^2 $
In quest'ultima porto tutto dalla stessa parte moltiplico per 4 e fattorizzo le differenze di quadrati a coppie:
$ $ (AU+VB)(AU-VB)+4(AU+VB)(AU-VB-2H)=0 $**
Definisco $ $d=AU-VB $ (che è la differenza richiesta dal problema).
Divido per $ $AU+VB $ la ** e sostituisco d ottenendo:
$ $d+4(d-2H)=0\Rightarrow 5d=8H\Rightarrow d=\frac{8}5H $
Che è la tesi del problema.

p.s. mi sono dilungato un po in cose ovvie ma almeno così e più chiaro