$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-1/x^2}&x\neq 0\\0&x=0\end{array}\right. $
questa funzione è definita in 0. Ma la tangente in (0,0) a y=f(x) ha una molteplicità di intersezione "infinita" e non si può distinguere da y=f(x)^2.
Secondo me la molteplicità algebrica confonde solo le idee, in quanto poi sui reali non può nemmeno essere descritta decentemente: ci sono curve che intersecano una retta una volta sola e questa non è tangente... la base della teoria di intersezione tra le curve è il teorema di Bezout che dice che due curve piane di grado m e n si intersecano in mn punti contatti con molteplicità. Ma questo è vero su C. Su R ci sono fenomeni strani, di cui si può render ragione spezzettando in casistica il discorso, ma allora si perde il senso di una definizione "unificante" come è quella di molteplicità di intersezione.
La tangente è ottimamente definita come la retta che "tange", ovvero per cui la distanza va a 0 più rapidamente possibile. E' un conto di trigonometria vedere che questo equivale a trovare la migliore approssimazione lineare (che secondo me dovrebbe essere il modo in cui uno studente capisce la derivata ... e non come "limite dei rapporti incrementali" che non si sa bene perché ci freghi fare sto cappero di limite
).
]