1/n k/n

[Ammattito]

Salve a tutti Pensavo a questa cosuccia... esiste secondo voi un numero n tale che, se 1/n è periodico, k/n è periodico anch'esso, che però presenta lo stesso periodo di 1/n ? (ovviamente k/n dovrà presentare un antiperiodo)
Mi pare ovvio escludere tutti i multipli di n
Grazie

EDIT: parliamo di numeri naturali, penso sia meglio iniziare in questo ambito "semplificato"

[exodd]

basta che sia $ k=1+an $, con a naturale, infatti
$ k/n=a+(1/n) $

[Ammattito]

Non mi sono spiegato bene ahimè io intendevo trovare il numero n tale che per ogni k diverso da (p)n si verifica la condizione. In ogni caso ho capito che tale numero n è 7 ma non sono sicuro se sia proprio l'unico o ce ne siano altri

[SkZ]

cioe'
$ $\frac k n=\frac{m}{10^a}+\frac{1}{n10^b} $

tipo $ ~1/7=.\overline{142857} $ e $ ~3/7=.42857\overline{142857} $

mi pare che valga per molti numeri come 13 che il periodo cicli invece di variare come per 3, 9, 11...
forse di base per molti primi eccetto 2, 3 11, 101,
penso dipenda da come sono scritti di base

[Ammattito]

mi pare che valga per molti numeri come 13 che il periodo cicli invece di variare come per 3, 9, 11...

Appunto dovrebbe essere proprio così ma come teorizzare questa ciclicità del periodo ? E soprattutto, come determinare i numeri primi tali che il periodo cicli ?

[SkZ]

non sono solo i numeri primi
per 14 e 35 vale pure

come puoi notare con alcuni test dipende intrinsecamente da come e' scritto (infatti la periodicita' dipende dalla base)
a occhio sembrerebbe esclusi fattori della base, primi pari a $ ~10^n+1 $, ma e' tutto da dimostrare il secondo (il primo caso e' ovvio invece).,
Poi e' da "capire" perche' il 3 no.

[Ammattito]

non sono solo i numeri primi
per 14 e 35 vale pure

Pensavo... vale per 7 e tutti i suoi multipli, forse? Poichè la periodicità dipenderebbe, in senso lato, dal resto della divisione, essendovi il fattore 7, questo preclude la ciclicità del periodo, credo ^^'

[SkZ]

no, per 21 non funziona.
Perche' 14 e 35 si e 21 no?
si dimostra matematicamente

[SkZ]

ciccio, intendevo: dimostra perche' vale per 14 e 35 e non per 21
non lasciamo le cose a meta'

[kn]

Mi avete chiamato? Nelle notazioni di SkZ, per n primo,
per ogni $ \displaystyle~k $ non multiplo di n devono esistere m e a tali che $ \displaystyle~\frac{k}{n}=\frac{m}{10^a}+\frac{1}{n\cdot 10^a} $, da cui
$ \displaystyle~\frac{k\cdot 10^a-1}{n}=m $, quindi basta che per ogni k esista un a tale che
$ \displaystyle~k\cdot 10^a\equiv 1\pmod n $, cioè $ \displaystyle~10^a\equiv k^{-1}\pmod n $.
Poiché al variare di k quel $ \displaystyle~k^{-1} $ copre tutti i resti (a parte 0) modulo n, 10 deve essere generatore $ \displaystyle~\pmod n $. Il bello è che è un problema aperto anche solo dire se ci sono infiniti n del genere..
Quanto alla questione del periodo che "cicla" (cioè non c'è antiperiodo), questo succede sempre (perché?)..
(Spero di non aver detto boiate..)