Termini di polinomi....

[XT]

Quanti termini non simili fra loro può avere un polinomio di VI grado omogeneo e non frazionario in tre variabili?
<BR>
<BR>Naturalmente potete generalizzare come vi pare se si può...

[ma_go]

cosa intendi per \"termini non simili\"?

[XT]

Intendo monomi con parte letterale diversa, insomma il polinomio deve essere in forma normale, tutte le somme possibili devono essere effettuate.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: XT il 18-04-2003 23:54 ]

[mario86x]

analizziamo tutti i termini...:
<BR>grado 0=1
<BR>grado 1=3
<BR>grado 2=6
<BR>grado 3=10
<BR>grado 4=15
<BR>grado 5=21
<BR>grado 6=28
<BR>---------------
<BR>84
<BR>
<BR>la successione sembra avere qualcosa di particolare(1,1+2,1+2+3,...), ma non mi saprei dare una spiegazione, sempre se non ho fatto errori <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

[mario86x]

ops, non avevo letto omogeneo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> .
<BR>Se è omogeneo c\'è solo il grado 6 quindi la risposta è 28.
<BR>Per un polinomio di grado n le possibilità sono (n+1)(n+2)/2 ma come ho già detto non saprei dare una spiegazione

[XT]

ottimo, 28 possibili termini, carina anche la generalizzazione ora me la guardo....

[ma_go]

se il polinomio è di m-simo grado in n variabili, io dico che ci sono al massimo (m+n n) monomi.
<BR>[(a b) = coefficiente binomiale = a!/(b!*(a-b)!)]

[raskolnikov]

Consideriamo il polinomio omogeneo di grado n. Diciamo che le variabili sono x y e z, e i loro esponenti sono rispettivamente a b e c. Troviamo tutte le terne (a, b, c) tali che a+b+c=n (a, b e c vanno da 0 a n, quindi n+1 possibili valori). E\' chiaro che fissati a e b, c è determinato di conseguenza, quindi troviamo a e b in modo che a+b<=n. Se a è 0, per b ho n+1 possibilità, se a è 1, per b ne avrò n, e cosi via, fino ad a=n, b=0 (1 possibilità sola). Quindi tutte le possibili coppie (a, b) saranno (n+1) + n + ... + 1, cioè la somma dei primi (n+1) numeri naturali, cioè (n+1)(n+2)/2.

[XT]

Grazie a raskolnikov per la dimostrazione, ora non mi è molto chiara la tua formula ma_go, intendi dire al massimo m più il coefficiente binomiale (n n)?

[ma_go]

no, il coefficiente (m+n n) = (m+n)!/(m!n!).
<BR>è simpatico il modo di trovare questa formuletta...