Sulla scorta di Cesenatico 2002

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

1)Trovare tutti i numeri interi, minori di 100, uguali alla somma dei quadrati
 delle cifre da cui sono composto più uno.
 2)Siano p e q due numeri primi tali che
 sqrt(p^2+7pq+q^2) + sqrt(p^2+14pq+q^2) sia un intero.
 Si dimostri che p=q.
 
 Il primo non molto complicato, il secondo invece lo è.
 Domani vado in gita, quindi per le spiegazioni ci si sente venerdi. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

1) 75 ; 35

lucianorossi · Messaggio da **lucianorossi** » 01 gen 1970, 01:33

per il primo, se indichiamo le due cifre con x e y, il numero è 10x+y, si può osservare che x è dispari e, sostituendolo con 2n+1 si trova anche che x è un 4n-1. gli unici 4n-1 da 1 a 10 (poichè x è una cifra) sono 3 e 7. dai valori di x si ricava quindi la y.
 quindi 35 e 75
 per il 2° la dim l\'ho fatta, ma devo rimetterla in ordine, se non non ci capisco neanche io

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

2) se volete vi dimostro anche il lemma, che dice che se sqrt(a)+sqrt(b)=n con a,b,n naturali, allora a e b sono quadrati perfetti, ma lo lascio a voi...
 dunque, per il lemma di cui sopra, p²+7pq+q²=m² per qualche m, ma questo m è ovviamente maggiore di p+q, per cui diciamo m=p+q+a. per cui, sostituendo, si ha a(a+2p+2q)=5pq.
 poiché 5, p e q sono primi, si ha per forza a€{1,5,p,q,5p,5q,pq,5pq}.
 sostituendo nei vari casi (e semplificando per le simmetrie), si ottiene facilmente che o p=q oppure a=5.
 studiamo tale caso, che è decisamente il più rognoso...
 dunque, si ottiene 5+2(p+q)=pq. se p=3 e q=5 o viceversa l\'equazione è verificata. possiamo quindi porre p,q>5, quindi p=5+2x,q=5+2y, da cui, sostituendo, x+y=2xy, quindi s=2p\'.
 impostiamo ora l\'equazione t²-st+p\'=0 per trovare x e y, da cui D/4=p\'²-p\', che per p\' intero è un quadrato se e solo se p\'=0 o 1, da cui ricaviamo p=q=5 oppure p=q=7.
 per cui abbiamo la tesi.
 se non vi fosse chiaro qualcosa... beh, chiedete!

massiminozippy · Messaggio da **massiminozippy** » 01 gen 1970, 01:33

Posto la mia soluzione del primo problema.
 
 Scriviamo la traccia come 10a+b=a^2+b^2+1, in cui a et b sono cifre, e quindi strettamente comprese fra 0 e 9. La nostra equazione diventa a^2-10a+b^2-b+1=0. Risolviamola come una equazione di secondo grado nell’incognita a. Allora si ha che, applicando la formula risolutiva delle equazioni di II grado, a=5+-sqrt(25-b^2+b-1). Sappiamo che a deve essere un intero, quindi sqrt(25-b^2+b-1) deve essere un intero. Ma ciò equivale a dire che 25-b^2+b-1 deve essere un quadrato perfetto, ed in particolare –b^2+b-1 deve essere minore di 25. Quindi b<6. Ma poiché b è una cifra delle unità si avrà che b=0,1,2,3,4,5. Osserviamo che solo b=5, fa si che sqrt(25-b^2+b-1) sia un quadrato perfetto. Sostituendo quindi b=5 si ottengono i due valori di a, ossia 3 e 7. Quindi i numeri cercati sono 35 e 75.
 
 Datemi il tempo di battere la seconda.