Cono e cilindro circoscritti ad una sfera

[Euler]

Consideriamo un cilindro e un cono circoscritti ad una sfera. Determinare il minimo rapporto tra i volumi del cono e del cilindro.

[minima.distanza]

allora, ci provo io, anche se non entusiasmatevi .

Allora... Presa una sfera di raggio $ k $, il volume del cilindro ad essa circoscritto è pari a $ 2k^3\pi $. Ora... il problema si riduce facilmente a calcolare il minimo volume che può assumere un cono circoscritto... E qui sorgono i problemi. il problema si riduce a calcolare quale triangolo rettangolo ha la minima area tra quelli formatesi dall'intersezione di una qualsisasi retta tagnete ad un cerchio con le rette $ x=0 $ e $ y=-k $. Noto che trovare ciò equivale a trovare il triangolo con la minima area formato dall'intersezione della retta tangente al cerchio in $ x_0 $ con le rette $ x=0 $ e $ y=0 $( i triangoli descritti prima e dopo sono simili, ergo se uno ha l'"area minore" ne consegue che anche l'altro ce l'ha rispetto agli altri... se fate il grafico capite bene cosa dico, scusate se sono poco chiaro...). Ora arriva la parte brutta: analisi. la retta tangente in $ x_0 $ ad un cerchio di equazione
$ y=\sqrt{k^2 -x^2} $ è pari a
$ y=-\frac{x_0}{\sqrt{k^2-x_0^2}}x+\frac{k^2}{\sqrt{k^2-x_0^2}} $
( vi risparmio i calcoli con le derivate, quelli me li faccio io...)
Ergo: l'intersezione della nostra retta tangente con l'asse delle ordinate vale
$ \frac{k}{\sqrt{k^2 - x_0^2}} $(1) mentre l'intersezione con l'asse delle ascisse misura, in relazione con $ x_0 $ come prima,
$ \frac{k^2}{x_0} $ (2)
( l'ho ottenuto ponendo uguale a 0 l'equazione della retta tangente al cerchio e risolvendo in x...).
Moltiplicando la (1) e la (2), derivando e uguagliando a zero ( vi risparmio i calcoli)ottengo che $ x_0 = \pm\frac{k\sqrt{2}}{2} $... Ergo, l'angolo che forma il raggio della nostra sfera di raggio k con il luogo dei punti tangenti al cono di minimo volume con il piano parallelo alla base del cono stesso ( e quindi del cilindro) è un angolo di 45° ( questo lo sapevo già, le derivate sono solo una dimostrazione veloce e bovina che mi è venuta in mente, ma mi sembra, anzi, so che c'è un altro modo molto più semplice e veloce ) ottenuto questo, posso dire che la altezza del famigerato cono dal minimo volume e pari alla sua stessa base... da ciò ottengo quindi che la base e l'altezza del nostro cono è pari a $ k\sqrt{2} +k $ ( quanti passagig per arrivare a questa cosa che avevivisto subito ). Ergo, il volume del cono è
$ \frac{(\sqrt{2}k +k)^3\pi}{3} $ che, messo a rapporto col volume di prima, diventa $ \frac{(\sqrt{2}k+k)^3}{6k^3}=\frac{(\sqrt{2}+1)^3}{6} $... Cosa che, data la sua bruttezza, mi sconsola alquanto e mi mette in guardia urlandomi: guarda che stai sbagliando clamorosamente !!!

Ma io queste cose non le so, ditemi voi se ho fatto giusto...

[Euler]

Non ho ben capito tutta la dimostrazione, comunque a me viene 4/3

[minima.distanza]

Ciao Euler, potresti postare la tua soluzione ?

[Euler]

Ah me ne ero completamente dimenticato, sono passati 5 mesi XD
Allora, per prima cosa noto che di cilindri ce n'è solo uno, e su questo siamo d'accordo; adesso il problema si riduce a trovare il minimo cono. Chiamo a, b, l e r come in figura. Per il teorema della secante e della tangente si ha che
$\displaystyle \frac{b}{l}=\frac{l}{b-2r}$ e quindi $\displaystyle l^2=b^2-2br$
Ora sfrutto invece la similitudine tra i 2 triangoli rettangoli, e quindi
$\displaystyle \frac{b}{a}=\frac{l}{r}$ da cui $\displaystyle l^2=\frac{b^2r^2}{a^2}$ e quindi per confronto
$\displaystyle b^2r^2=a^2b^2-2bra^2$
$\displaystyle a^2=\frac{br^2}{b-2r}$
Adesso so che il volume del cono è
$\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi a^2b=\frac{1}{3}\pi \frac{b^2r^2}{b-2r}$
Ponendo $\displaystyle f(x):= \frac{x^2r^2}{x-2r}$ , facendone la derivata e ponendola uguale a 0, ottengo un solo valore $b$ che non può essere che il minimo e che sostituito mi dà il rapporto $\frac{4}{3}$