Su una sommatoria (own)

[minima.distanza]

Esercizio ispirato da un vecchio post per chi si vuole fare un ripassino sui vari modi in cui è possibile affrontare le sommatorie...

calcolare $ \sum_{i=1}^{k}\frac{i}{n^i} $.

Per i più temerari, determinare $ \sum_{i=1}^{k}\frac{i^n}{n^i} $... Ovviamente i problemi sono legati, e io ho risolto solo il primo per ora, mentre il secondo non so bene come farlo sinceramente....

[Zorro_93]

provo il primo... brute force

Testo nascosto:

Sia $\frac1n=m$, allora $\displaystyle \sum_{i=1}^k \frac{i}{n^i}=\sum_{i=1}^k im^i=\sum_{i=1}^{k}(i+1)m^i-\sum_{i=1}^k m^i =\sum_{i=1}^{k}(m^{i+1})'-\frac{m(m^k-1)}{m-1}=$
$\displaystyle=\left(\frac{m^2(m^k-1)}{m-1}\right)'-\frac{m(m^k-1)}{m-1}=\frac{km^{k+1}}{m-1}+\frac{m(m^k-1)}{m-1}-\frac{m^2(m^k-1)}{(m-1)^2}$

[minima.distanza]

Benissimo ! non so se il risultato è giusto perchè io l'ho risolto in modo diverso senza sostituire variabili, ma sembra la stessa cosa ! molto bene... Chi trova un metodo elementare ? io non ho usato le derivate per esempio... non mi erano nemmeno venute in mente, molto istruttivo comunque ! Per il secondo credo che siano obbligatorie... XD molto elegante !

[Claudio.]

Io ho provato elementarmente così:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^k{\frac i{n^i}}=\frac1{n^k} \cdot \sum_{i=1}^k{in^{k-i}}= \frac1{n^k} \cdot \left( k\frac{n^k-1}{n-1}-\sum_{i=1}^{k-1}{in^i}\right)$
Ma non riesco a calcolare $ \displaystyle \sum_{i=1}^{k-1}{in^i} $

Ma è algebra o tdn?

[Zorro_93]

Ma non riesco a calcolare $ \displaystyle \sum_{i=1}^{k-1}{in^i} $

Ma è algebra o tdn?

credo che il problema sia tutto lì... io l'ho fatto con le derivate perchè avevo già visto un esercizio del genere fatto così, cioè con gli esponenti e i coefficienti legati in quel modo.

IMHO è giusto in algebra

[minima.distanza]

beh, a sto punto posto la mia soluzione del punto 1...

Testo nascosto:

inizio scrivendo $ \sum_{i=1}^{k}\frac{i}{n^i} = \sum_{\alpha = 1}^{k}\sum_{i=1}^{\alpha}\frac{1}{n^i} $ ( un modo più formaloso per fare come fece a nove anni Gauss nella leggenda quando, almeno nella versione che conosco io, per calcolare l'n-esimo numero triangolare fece un giochetto carino carino...XD). Essendo ora $ \sum_{r=1}^{k}\frac{1}{n^r} = \frac{n^{-k}}{1-n} +\frac{1}{n-1} $ si ha da calcolrare $ \sum_{w=1}^{k}\bigl( \frac{n^{-w}}{1-n}+\frac{1}{n-1} \bigr) = \frac{k}{n-1}-\frac{1}{n-1}\sum_{w=1}^{k}\frac{1}{n^w} = \frac{(kn-k-1)n^k +1}{n^k(n-1)^2} $ XD salvo errori di conto, almeno a livello concettuale dovrebbe essere tutto giusto...

Riguardo al secondo...

Testo nascosto:

usando il solito metodo del caro gauss giovincello ( quello di scrivere tutto a colonne e righe, non so come spiegarlo meglio...) si ha che $ \sum_{i=1}^{k}\frac{i^n}{n^i} = \sum_{x=0}^{k-1}[(x+1)^n -x^n]\sum_{i=1+x}^{k}\frac{i}{n^i} $... Figo eh ? XD

[fph]

usando il solito metodo del caro gauss giovincello ( quello di scrivere tutto a colonne e righe, non so come spiegarlo meglio...)

Il nostro Gobbino di mezz'età lo chiama "double counting". Conti una cosa prima per colonne e poi per righe, con tecniche diverse, e ottieni due risultati che devono essere uguali.

[minima.distanza]

ok, grazie a fph per la precisazione !

Il punto due potrebbe essere affrontato in Mne in quanto per curiosità ho incaricato il computer di risolverlo e mi salta fuori la funzione zeta...

[Zorro_93]

Io ho trovato questo... in effetti non sembra molto bello

http://www.wolframalpha.com/input/?i=su ... ^k+i^n/n^i