Questo problema mi è sembrato abbastanza carino (è semplice quindi i più bravi non lo brucino!):
Il triangolo ABC ha area 1. I punti $X\in AB$ ed $Y\in AC$ sono tali che il baricentro giace dalla parte opposta di B e C rispetto alla retta XY .
Dimostrare che
$S(BXGY)+S(CYGX)\geq\frac{4}{9}$
Quando si ha l’uguaglianza?
BMO '89/3
Re: BMO '89/3
provo a dare una soluzione
allora sia $AB=a$ e $AC=b$ e $XB=\kappa a$ e $YB=\gamma b$ con ovviamente $\kappa <1$ e $\gamma <1$ . Quindi $AX=1- \kappa a$ e $AY=1- \gamma b$ .
ora $S(XGYB) + S(YGXC) = S(YGX) + S(XBY) + S(YXC)$. calcoliamo le singole aree
per il teorema di talete il rapporto tra l'altezza del triangolo $XBY$ e l'altezza del triangolo $ABC$ è uguale al rapporto tra $AY$ e $AC$ cioè $1 - \gamma$, il rapporto tra $XB$ e $AB$ è ovviamente $\kappa$. quindi $S(XBY)= ( \kappa (1 - \gamma ) ) S(ABC)$
per ipotesi $S(ABC)=1$ e perciò $S(XBY)= \kappa (1 - \gamma )$
con un ragionamento assolutamente uguale si arriva a concludere che $S(YCX)= \gamma (1 - \kappa )$
ora $S(YGX)=S(AXY) - S(AXG) - S(AGY)$. il rapporto tra le altezze di $AXY$ e $ABC$ e uguale al rapporto tra $AY$ e $AC$ cioè $1 - \gamma$. il rapporto tra $AX$ e $AB$ è $1 - \kappa$ quindi $S(AXY)=(1 - \kappa )(1 - \gamma )$. essendo $G$ baricentro del triangolo il rapporto tra le altezze di $AXG$ e $ABC$ è $1/3$ (sempre per talete), ed essendo sempre il rapporto tra $AX$ e
$AB$ uguale a $1 - \kappa $, si ha che $S(AXG)=(1 - \kappa )1/3$. in maniera assolutamente uguale si arriva a dire che $S(AGY)=(1 - \gamma )1/3$. perciò $S(YGX)=(1- \kappa )(1 - \gamma) - (1- \kappa )1/3 - (1 - \gamma )1/3$
svolgiamo ora i calcoli $S(YGX) + S(XBY) + S(YXC) = (1 - \kappa )(1 - \gamma ) - (1 - \kappa )1/3 - (1 - \gamma )1/3 + \kappa (1 - \gamma ) + \gamma (1 - \kappa ) = 1/3$ $- (\kappa)(\gamma) + 1/3( \kappa + \gamma )$
questa somma è minima quando e minima la somma $\kappa + \gamma $, il che per $AM-GM$ accade quando è uguale a $2\sqrt{\kappa \gamma }$. la somma diventa quindi $1/3 - \kappa \gamma + 2/3\sqrt{\kappa \gamma }$. pongo $\kappa \gamma = t$ e derivando $1/3 - t + 2/3(\sqrt{t})$ ho che il minimo si ottiene per $t=1/9$ e che quindi $S(YGX) + S(XBY) + S(YCX) \ge 4/9$ .
allora sia $AB=a$ e $AC=b$ e $XB=\kappa a$ e $YB=\gamma b$ con ovviamente $\kappa <1$ e $\gamma <1$ . Quindi $AX=1- \kappa a$ e $AY=1- \gamma b$ .
ora $S(XGYB) + S(YGXC) = S(YGX) + S(XBY) + S(YXC)$. calcoliamo le singole aree
per il teorema di talete il rapporto tra l'altezza del triangolo $XBY$ e l'altezza del triangolo $ABC$ è uguale al rapporto tra $AY$ e $AC$ cioè $1 - \gamma$, il rapporto tra $XB$ e $AB$ è ovviamente $\kappa$. quindi $S(XBY)= ( \kappa (1 - \gamma ) ) S(ABC)$
per ipotesi $S(ABC)=1$ e perciò $S(XBY)= \kappa (1 - \gamma )$
con un ragionamento assolutamente uguale si arriva a concludere che $S(YCX)= \gamma (1 - \kappa )$
ora $S(YGX)=S(AXY) - S(AXG) - S(AGY)$. il rapporto tra le altezze di $AXY$ e $ABC$ e uguale al rapporto tra $AY$ e $AC$ cioè $1 - \gamma$. il rapporto tra $AX$ e $AB$ è $1 - \kappa$ quindi $S(AXY)=(1 - \kappa )(1 - \gamma )$. essendo $G$ baricentro del triangolo il rapporto tra le altezze di $AXG$ e $ABC$ è $1/3$ (sempre per talete), ed essendo sempre il rapporto tra $AX$ e
$AB$ uguale a $1 - \kappa $, si ha che $S(AXG)=(1 - \kappa )1/3$. in maniera assolutamente uguale si arriva a dire che $S(AGY)=(1 - \gamma )1/3$. perciò $S(YGX)=(1- \kappa )(1 - \gamma) - (1- \kappa )1/3 - (1 - \gamma )1/3$
svolgiamo ora i calcoli $S(YGX) + S(XBY) + S(YXC) = (1 - \kappa )(1 - \gamma ) - (1 - \kappa )1/3 - (1 - \gamma )1/3 + \kappa (1 - \gamma ) + \gamma (1 - \kappa ) = 1/3$ $- (\kappa)(\gamma) + 1/3( \kappa + \gamma )$
questa somma è minima quando e minima la somma $\kappa + \gamma $, il che per $AM-GM$ accade quando è uguale a $2\sqrt{\kappa \gamma }$. la somma diventa quindi $1/3 - \kappa \gamma + 2/3\sqrt{\kappa \gamma }$. pongo $\kappa \gamma = t$ e derivando $1/3 - t + 2/3(\sqrt{t})$ ho che il minimo si ottiene per $t=1/9$ e che quindi $S(YGX) + S(XBY) + S(YCX) \ge 4/9$ .
Re: BMO '89/3
Mi pare che sia tutto giusto 
Io invece ho osservato che il minimo c'è sicuramente quango G appartiene a XY e poi ho fatto un calcolo analitico non troppo bovino. Se vuoi la posto, anche se è un po' palloso
Io invece ho osservato che il minimo c'è sicuramente quango G appartiene a XY e poi ho fatto un calcolo analitico non troppo bovino. Se vuoi la posto, anche se è un po' palloso
cogito ergo demonstro
Re: BMO '89/3
se ti va postala...poi in quanto a pallosità nemmeno la mia scherzava! 