Trovare tutte le soluzioni

[Kopernik]

Determinare tutte le soluzioni dell’equazione: $ \displaystyle\frac{x-a}{b}+\displaystyle\frac{x-b}{a}=\displaystyle\frac{b}{x-a}+\displaystyle\frac{a}{x-b} $

[minima.distanza]

bene, vediamo se non ho fatto sciocchezze ...

Testo nascosto:

$ \frac{x-a}{b}+\frac{x-b}{a} = \frac{b}{x-a}+\frac{a}{x-b} \Rightarrow \frac{ax-a^2+bx-b^2}{ab} = \frac{bx-b^2+ax-a^2}{x^2-(a+b)x+ab} \Rightarrow [x^2-(a+b)x][(a+b)x -a^2-b^2]=0 $ che è soddisfatta per $ x=0, x=a+b, x = \frac{a^2+b^2}{a+b} $ se e solo se $ a\neq 0, b \neq 0, b +a \neq 0 $. Se non sono rispettate tali condizioni, l'equazione originaria perde di significato.

[Kopernik]

bene, vediamo se non ho fatto sciocchezze ...

Le condizioni che hai posto non sono complete, ma non hai fatto nessuna schiocchezza

[paga92aren]

La soluzione è un po' contosa ma non vedo altre vie

Testo nascosto:

$\frac{x-a}{b}-\frac{b}{x-a}=\frac{a}{x-b}-\frac{x-a}{b}$ sommo le frazioni e scompongo il numeratore $\frac{(x-a+b)(x-a-b)}{b(x-a)}+\frac{(a+x-b)(a-x+b)}{a(x-b)}$
noto che da entrambi i membri compare $x-a-b$ e la prima soluzione è $x=a+b$.
Rimane:$0=\frac{x-a+b}{b(x-a)}+\frac{x-b+a}{a(x-b)}=\frac{1}{b}+\frac{1}{x-a}\frac{1}{a}+\frac{1}{x-b}=\frac{x}{a(x-a)}+\frac{x}{b(x-b)}$ Da cui la soluzione $x=0$ e rimane $\frac{(b+a)x-(a^2+b^2)}{(x-a)(x-b)}=0$ da cui N=0 $x=\frac{a^2+b^2}{a+b}$

lo so che la soluzione è stata postata ma l'avevo scritta prima di cena e la pubblico lo stesso (dato che sono abbastanza diverse).

[minima.distanza]

intendevo proprio QUEL tipo di sciocchezze Devo anche imporre $ x \neq a $ e $ x \neq b $...

[Kopernik]

La soluzione è un po' contosa ma non vedo altre vie
lo so che la soluzione è stata postata ma l'avevo scritta prima di cena e la pubblico lo stesso (dato che sono abbastanza diverse).

La soluzione va benissimo, ma fai attenzione che la precisione richiede una quantità notevole di condizioni diesistenza che tu hai trascurato del tutto