quadrilatero

[ardroc]

Ciao ragazzi! Mi aiutate a dimostrare che dei quadrilateri con stesso perimetro il quadrato è quello k massimizza l'area?
Coi rettangoli è facile ma coi quadrilateri non riesco..Grazie

[amatrix92]

divido il quadrilatero in 2 triangoli tracciando una diagonale. siano a b c d i lati del quadrilatero e $ \alpha $ e $ \beta $ gli ancoli compresi tra ad e bc. L'area sarà $ a\cdot d\cdot sen\alpha + c\cdot b \cdot sen\beta $ che ovviamente si massimizza per $ \alpha $ e $ \beta = 90° $

[Anér]

Sì, ma non è detto che "allargando" il quadrilatero (o stringendolo) tu riesci a portare sia $ \alpha $ che $ \beta $ a 90°. In effetti questo accade solo quando parti da un quadrilatero di lati a,b,c,d tali che $ a^2+d^2=b^2+c^2 $.
Io ricorrerei alle ellissi. Se fisso come fuochi due vertici A e C opposti del quadrilatero, posso far variare ciascuno degli altri due vertici B e D su delle ellissi di fuochi A e C e asse maggiore nel primo caso pari a AB+BC e nel secondo caso AD+CD, in modo che il perimetro non cambi. Si vede chiaramente che l'area è pari a 1/2 AC moltiplicato per la somma (o la differenza, dipende dalle configurazioni) delle distanze di B e D dalla retta AC, per cui conviene prendere sia B che D il più distanti possibili, ovvero sull'asse di AC. Ci siamo ricondotti a un deltoide in cui AB=BC e CD=DA.
Ora fissiamo B e D come fuochi e facciamo variare A e C sull'ellisse (stavolta unica) di fuochi B e D e asse maggiore AB+DA=BC+CD. Di nuovo conviene prendere A e C sull'asse di BD, e ci siamo ricondotti a un rombo, e a questo punto è senz'altro vero che modellando opportunamente il rombo si può ottenere $ \alpha=\beta=90° $.

[ardroc]

bello! grazie. non posso fare il ragionamento di amatrix perche per dire k ank gli altri due angoli sono 90 e 90 devo avere necessariamente i lati opposti congruenti(cosa che non ho), giusto? mi spieghi xk la condizione a^2+d^2=c^2+b^2?

[Anér]

Immagina di avere un quadrilatero fatto di asticelle di legno collegate alle estremità con delle viti, in modo da poterlo modellare. Se vuoi ottenere un quadrilatero con tutti gli angoli di 90°, ossia un rettangolo, devi usare delle asticelle uguali a due a due, ognuna alla sua opposta. In questo modo quando modellando il quadrilatero rendi un angolo uguale a 90° anche gli altri avranno 90° (a meno che non fai un quadrilatero intrecciato, ma lasciamo stare). Se invece vuoi ottenere che solo una coppia di angoli opposti sia di 90° e 90°, allora ti serve partire da asticelle che rispettano $ a^2+d^2=c^2+b^2 $; solo in questo caso infatti quando hai modellato il quadrilatero in modo da ottenere $ \alpha $ pari a 90° anche $ \beta $ viene di 90°. Infatti se chiami $ e $ la diagonale del quadrilatero su cui insistono sia $ \alpha $ che $ \beta $ hai da un lato che $ a^2+d^2=e^2 $ perché ade è rettangolo, e dall'altro per come hai scelto a,b,c,d hai che $ a^2+d^2=b^2+c^2 $ per cui $ e^2=b^2+c^2 $ e anche bce è rettangolo.

[ardroc]

grande! chiarissimo!